AM-GM 1 dòng thôi bạn :))

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)

Dấu "=" khi a=b=c=1

Áp dụng BĐT AM - GM cho các số không âm , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\c+1\ge2\sqrt{c}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2.2.2.\sqrt{abc}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số không âm (với  \(a,b,c>0\)), ta có:

\(a^2+1\ge2a\)  \(\left(1\right)\)

\(b^2+1\ge2b\)   \(\left(2\right)\)

\(c^2+1\ge2c\)   \(\left(3\right)\)

Nhân từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc=8\)  (do  \(abc=1\))

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

Ta có:\(\left(a-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)-4a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)

TT\(\Rightarrow\left(b+1\right)^2\ge4b\)

\(\left(c+1\right)^2\ge4b\)

Nhân vế theo vế ta được \(\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2\ge64abc=64\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)(đpcm)

bn êi tích bằng 1 ko dùng ak

xin lỗi mik viết nhầm chỉ có 1 số 8 thôi

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ac+bc+ab+a+b+c+1\)

Áp dụng BĐT thức Cô si cho 3 số , ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c+2\ge3+3+2=8\left(đpcm\right)\)

Bạn Huyền dài dòng quá! Dự đoán a = b = c = 1 cô si phát là ra=)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)\(=8\sqrt{abc}=8^{\left(đpcm\right)}\)

\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2+4+2=8\)

"=" khi \(a=b=1\)

ta có bđt phụ đã dc học

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) nếu bạn chưa học thì mik chứng mik cho:v

=> \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

=> \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

điều này luôn đúng với mọi x;y;z

=>\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

thay \(x=a+\frac{1}{a};y=b+\frac{1}{b};z=c+\frac{1}{c}\) vào ta có:

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(\left(a+b+c\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)^2}{3}\)

ta có bđt cosi mà thực ra mik cx ko nhớ tên nếu gọi việt mik thì gọi là bđt cộng mẫu nếu bạn ko bt mik lại chứng minh

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

ta nhân (a+b+c) vào hai vế:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

=\(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

mà \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

vì \(\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}\ge2\)

\(x^2+y^2\ge2xy\)

=> \(\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\) hay \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

vậy x;y là các số thực thì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

=> 3+\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)

vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

thay vòa biểu thức đã suy ra ở đầu bài ta có:

=> \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(\left(a+b+c\right)+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\right)^2}{3}\)

mà ta có a+b+c=1 thay vào biểu thức ta có:

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(1+9\right)^2}{3}=\frac{10^2}{3}=\frac{100}{3}\)