Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(ax+by)\(^{^2}\)\(\le\) (\(a^2\)+\(b^2\))(\(x^2\)+\(y^2\))
<=> \(a^2\)\(x^2\)+2axby+\(b^2\)\(y^2\)\(\le\)\(a^2\)\(x^2\)+\(a^2\)\(y^2\)+\(b^2\)\(x^2\)+\(b^2\)\(y^2\)
<=> 2axby\(\le\)\(a^2\)\(y^2\)+\(b^2\)\(x^2\)
<=>\(a^2\)\(y^2\)-2aybx+\(b^2\)\(x^2\)\(\ge\)0
<=> \(\left(ay-bx\right)^2\)\(\ge\)0(luôn đúng)
dấu = xảy ra khi ay-bx=0 <=> ay=bx
BDT Bunnhiacopxki
Với mọi số a;b;x;y ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
dấu = xảy ra khi \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
tách ít ít ra thôi. để cả cộp thế này k ai làm cho đâu. mệt quá
Bài 1:
\(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\)
Khi \(a=b\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
BĐT Bunnhiacopxki
Với mọi số a;b;x;y ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Nguyễn Huy Thắng Sai tên BĐT
BĐT này là BĐT Bunhiacopxki.
Chứng minh:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
<=> \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
<=> \(a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
<=> \(\left(ay-bx\right)^2\ge0\) điều này đúng nên BĐT được chứng minh
Dấu bằng xảy ra <=> \(ay=bx\) <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Bunhiacopxki
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta có nhiều cách
Cách 1 Xét hiệu
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(\text{ax}+by\right)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2abxy-b^2y^2\)
\(=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)
\(=\left(ay-bx\right)^2\ge0\)luôn đúng với mọi \(a,b,x,y\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(ay-bx=0\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\)