#zinc

Số các vecto khác vecto 0, có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 2 trong 7 điểm A,B,C,D,E,F,O là: \(7\cdot6=42\) (vecto)

Lời giải:

a)

$2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD})$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$

Tương tự:

$\overrightarrow{BE}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}}{2}$

$\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$

Cộng lại:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}}{2}=\overrightarrow{0$}$

Ta có đpcm.

b)

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FC}$

$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})+(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})$

$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})$

$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{0}$ (theo phần a)

$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$

Ta có đpcm.

được 

a, AC+BD=AD+BC=2EF

cm:AC+BD=AD+BC

ta có:AC=AD+DC

BD=BC+CD

DC+CD=0

AC+BD=AD+BC(đpcm)(1)

AC+BD=2EF(2)

từ(1)và(2)ta có:AC+BD=AD+BC=2EF(đpcm)

b,GA+GB+GC+GD=2(0)=0(đpcm)

G là trọng tâm của ΔABC

=>\(S_{BGA}=S_{CGA}=S_{BGC}=\frac13\cdot S_{BAC}\)

Xét ΔBGC có GD là đường cao

nên \(S_{GBC}=\frac{1}{2}a\cdot GD=\frac{1}{3}S\)

=>\(GD=\frac{2S}{3a}\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(GE=\frac{2S}{3b};GF=\frac{2S}{3c}\)

ΔGDB vuông tại D

=>\(S_{GBD}=\frac{1}{2}GD\cdot DB\quad\)

ΔGDC vuông tại D

=>\(S_{GCD}=\frac{1}{2}GD\cdot DC\)

\(\vec{GD} = \frac{DC}{BC} \cdot \vec{GB} + \frac{DB}{BC} \cdot \vec{GC}\)

\(GB^2-GC^2=(GD^2+DB^2)-(GD^2+DC^2)\)

\(=DB^2-DC^2\)

=(DB-DC)(DB+DC)

=a*(DB-DC)

\(a^2 \cdot \vec{GD} = \frac{2S}{3} \cdot \frac{a^2 \cdot \vec{GD}}{\frac{2S}{3}}\)

\(\vec{u} = a^2 \cdot \vec{GD} + b^2 \cdot \vec{GE} + c^2 \cdot \vec{GF}\)

\(\vec{u} \cdot \vec{BC} = a^2 (\vec{GD} \cdot \vec{BC}) + b^2 (\vec{GE} \cdot \vec{BC}) + c^2 (\vec{GF} \cdot \vec{BC})\)

GD⊥BC

=>\(\overrightarrow{GD}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

\(a \cdot GD = b \cdot GE = c \cdot GF = \frac{2S}{3}\)

=>\(b^2 (\vec{GE} \cdot \vec{BC}) + c^2 (\vec{GF} \cdot \vec{BC}) = 0\)

Do đó: \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{CA}=0\)

=>\(\overrightarrow{u}=0\)

=>\(a^2\cdot\vec{GD}+b^2\cdot\vec{GE}+c^2\cdot\vec{GF}=\vec{0}\quad\text{(ĐPCM)}\)

Ba điểm F, C, E thẳng hàng.

a)

Vì FE=2FC,ba điểm F,C,E thẳng hàng

b)

Vì EC=BD,tứ giác BDCE là hình bình hành

Vì BC=DF , tứ giác BDCF là hình bình hành