Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2+2\left(4-3m\right)x+10m-11\le0\)
TH1: \(m=2\)
Bất phương trình tương đương \(-4x+9\le0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2: \(m>2\)
\(f\left(x\right)\le0\forall x\in\left(x_1;x_2\right)\)
\(\Rightarrow m>2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH3: \(m< 2\)
+) \(\Delta=-m^2+7m-6\le0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le1\\m\ge6\end{matrix}\right.\)
\(f\left(x\right)\le0\forall x\in R\Rightarrow f\left(x\right)\le0\forall x< -4\)
Kết hợp điều kiện \(m< 2\) ta được \(m\le1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) \(\Delta=-m^2+7m-6>0\Leftrightarrow1< m< 6\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_2>x_1\ge-4\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right).f\left(-4\right)\ge0\\\dfrac{3m-4}{m-2}>-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
Vậy \(S=(-\infty;1]\)
Không biết đúng chưa, bài này phức tạp quá.
TH1: m=2
BPT sẽ trở thành: \(0\cdot x^2+2(4-6)x+20-11\le0\)
=>\(-4x+9\le0\)
=>\(x\ge\frac{9}{4}\)
=>Loại vì bất phương trình không thể đúng với mọi x<-4
TH2: m<>2
\((m-2)x^2 + (8-6m)x + 10m - 11 \le 0\)
=>\(m(x^2-6x+10)-2x^2+8x-11\le0\)
=>\(m(x^2-6x+10)\le2x^2-8x+11\)
mà \(x^2-6x+10=\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\forall x\)
nên \(m\le\frac{2x^2-8x+11}{x^2-6x+10}\quad\forall x<-4\) (1)
Đặt \(g(x) = \frac{2x^2 - 8x + 11}{x^2 - 6x + 10}\)
(1) sẽ trở thành: \(m \le \min_{x \in (-\infty; -4)} g(x)\)
\(g'(x) = \frac{(4x - 8)(x^2 - 6x + 10) - (2x^2 - 8x + 11)(2x - 6)}{(x^2 - 6x + 10)^2}\)
\(=\frac{(4x^3 - 32x^2 + 88x - 80) - (4x^3 - 28x^2 + 70x - 66)}{(x^2 - 6x + 10)^2}\)
\(=\frac{-4x^2 + 18x - 14}{(x^2 - 6x + 10)^2}\)
Đặt g'(x)=0
=>\(-4x^2+18x-14=0\)
=>\(2x^2-9x+7=0\)
=>(x-1)(2x-7)=0
=>x=1 hoặc x=7/2
trên khoảng (-∞;-4), ta có: g'(x)<0 với mọi x∈(-∞;-4)
=>g(x) là hàm số giảm nghiêm ngặt trên khoảng \((-\infty; -4)\) và Giá trị của g(x) giảm dần khi x tăng từ \(-\infty\) đến -4
\(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 2\)
\(g(-4) = \frac{2(-4)^2 - 8(-4) + 11}{(-4)^2 - 6(-4) + 10} = \frac{32 + 32 + 11}{16 + 24 + 10} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2}\)
Vì g(x) giảm liên tục trên (-∞;-4) nên ta có: g(x)>g(-4)=3/2 ∀x<-4
Để m<=g(x) với mọi x<-4 thì m<=3/2
mà m là số nguyên dương
nên m=1
=>S={1}
Do \(x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3>0;\forall x\) nên BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi:
\(x^2-\left(3m+2\right)x+4>0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\\Delta=\left(3m+2\right)^2-16< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow9m^2+12m-12< 0\)
\(\Rightarrow-2< m< \dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m=\left\{-1;0\right\}\) có 2 giá trị
TH1: m+1=0 <=> m=-1
Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại
TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1
Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x
<=> {a>0Δ′≤0⇔{m+1>0[−(m+1)]2−4(m+1)≤0{a>0Δ′≤0⇔{m+1>0[−(m+1)]2−4(m+1)≤0
<=>
TH1: m+1=0 <=> m=-1
Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại
TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1
Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m^2-2m-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>3\)
Vậy m>3 thì...
f(x) = (m+1)x² - 2(m+1)x + 2m+3
♠ m = -1: f(x) = 0.x² - 0.x + 1 = 1 > 0 với mọi x nên f(x) ≥ 0 có nghiệm x thuộc R
♠ m # -1, có ∆' = (m+1)² - (m+1)(2m+3) = -(m+1)(m+2)
ta biện luận theo dấu của delta':
m│ -∞________ -2 _________ -1 ________ +∞
∆ │≈≈≈≈≈ - ≈≈≈≈ 0 ≈≈≈≈ + ≈≈≈≈ || ≈≈≈≈ - ≈≈≈≈≈≈
* nếu m < -2 => ∆' < 0, m+1 < 0 => f(x) < 0 với mọi x nên f(x) ≥ 0 vô nghiệm
* nếu m = -2 <=> ∆' = 0 và m+1 < 0 <=> f(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R
=> f(x) ≥ 0 có nghiệm x = 2 (còn dính đc chổ có dấu "=" )
* -2 < m < -1 <=> ∆' > 0 ; f(x) có 2 lần đổi dấu => f(x) ≥ 0 có nghiệm
* nếu m > -1 => ∆' > 0 và m+1 > 0 => f(x) > 0 với mọi x => f(x) ≥ 0 có nghiệm
Tóm lại các trường hợp: bpt f(x) ≥ 0 có nghệm khi và chỉ khi m ≥ -2
~~~~~~~~~~
Cách khác: giải ngược lại ta tìm m để bpt f(x) ≥ 0 vô nghiệm
tức là f(x) < 0 với mọi x thuộc R
* nếu m = -1 thì như trên f(x) ≥ 0 có nghiêm
* nếu m # -1, f(x) < 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi
{ ∆' < 0
{ m+1 < 0
<=> { m < -2 hoăc m > -1
----- { m < -1
<=> m < -2
Vậy bpt f(x) ≥ 0 có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -2