Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=\Sigma\frac{x^4}{x^2+\sqrt{xy.zx}}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
áp dụng bdt cauchy -schửat dạng engel ta có
\(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}=\frac{1}{2}\)
(do \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) bn tự cm nhé)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
ta có: \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\left(2+1\right)\left(\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\).....bla bla
2/ Ta có
\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x
\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)
\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)
Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)
Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
=0,5
Vì có gtnn khi xy=yz=zx=1:9 => x=y=z=1:3
Thay số và tính được gtnn là A=0.5
GTNN là 1 bạn ak
1 nha tui ko chắc chắn đâu
tui mới lớp 5 mà
ap dung BDT Bunhiacopxki ta co: ( a+b+c).(X^2/a+Y^2/b+Z^2/c) >= (X+Y+Z)^2 => X^2/a+Y^2/b+Z^2/c >= (X+Y+Z)^2/(a+b+c) (*) ap dung BDT (*) ta co: A= x^2/(x+y)+y^2/(y+z)+z^2/(z+x) >= (x+y+z)^2/2(x+y+z) = (x+y+z)/2 mat #: ap dung BDT Co Si ta co: x+y >= 2can(xy) c/m tuong tu => x+y+z >= can(xy)+can(yz)+can(zx) = 2 => A >= 2/2 = 1
ta có
(X^2)/(X+Y)+(Y^2)/(Y+Z)+(Z^2)/(Z+X)>= (X+Y+Z)/2
mà X+Y+Z >=căn(XY)+căn(YZ)+căn(ZX)=2
Xét : \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)=> \(\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{3x-y}{4}\)
Tương tự : \(\frac{y^2}{y+z}\ge\frac{3y-z}{4}\) ; \(\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{3z-x}{4}\)
Cộng các BĐT trên theo vế được : \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Mặt khác : \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=2\)
=> Min \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=1\) <=> x = y = z = 2/3