Xét \(\Delta\) ABE vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go

\(\Rightarrow\)AB²=AE²+EB²

\(\Rightarrow\)AE²=AB²-EB²

Xét ACE vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go

\(\Rightarrow\)AC²=AE²+CE²

Thay AE²=AB²-EB² vào công thức

\(\Rightarrow\)AC²=AB²-EB²+CE²

\(\Rightarrow\)AC²-AB²=CE²-EB²     (1)

Xét \(\Delta\) KBE vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go

\(\Rightarrow\)KB²=KE²+EB²

\(\Rightarrow\)KE²=KB²-EB²

Xét KCE vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go

\(\Rightarrow\)KC²=KE²+CE²

Thay KE²=KB²-EB² vào công thức

\(\Rightarrow\)KC²=KB²-EB²+CE²

\(\Rightarrow\)KC²-KB²=CE²-EB²     (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AC²-AB²=KC²-KB² (=CE²-EB²)

CHÚC BẠN HỌC TỐT ! 

HHình vẽ đâu???

\(a. \)Xét  \(\Delta ABC\)vuông tại A theo địnhlý Py - ta - go, ta có:              \(BC^2=AC^2+AB^2\)
                                                                                                                \(\Rightarrow\)\(AB^2=BC^2-AC^2\)
                                                                                                                \(\Rightarrow\) \(AB^2=10^2-6^2=64\)
                                                                                                                 \(\Rightarrow\) \(AB=\sqrt{64}=8\)(cm)
Vì  CM là dường trung tuyến \(\Rightarrow\)BM = MA     \(\Rightarrow\)\(BM=MA=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\)   (cm)

\(b.\) Xét \(\Delta CAM\) và \(\Delta DBM\)có:      \(MC=MD\)                          ( gt )
                                                                              \(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)                  ( đối đỉnh )
                                                                               \(AM=BM\)                          ( CM là dường trung tuyến)

               Do đó \(\Delta CAM=\Delta DBM\)( c.g.c)

\(c.\)Xét \(\Delta DBC\)theo Bất đẳng thức tam giác, ta có:  \(DB+BC>DC\)
                 mà \(CM=MD\)nên  \(DC=2CM\)
                         \(BD=AC\)    ví    \(\Delta CAM=\Delta DBM\)
              \(\Rightarrow\)đpcm

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6(cm)$.

Vậy $\boxed{AC=6cm}$.

b1) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên: $\boxed{CD\perp AC}$.

b2) Ta có: $AH\perp BC$ tại $H$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC^2=CH\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$$=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\boxed{\triangle ACE \text{ cân tại } C}$.

b3) Từ câu b1:

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD=8cm$.

Từ câu b2: $CE=AC=6cm$.

Trong tam giác vuông $ACD$:

$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$$=\sqrt{6^2+8^2}=10cm$.

Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AD=2AM$.

Mà $AM=\dfrac{BC}{2}=5cm$ nên: $AD=10cm$.

Suy ra tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có các cạnh $6;8;10$.

Khi đó: $BD=BC+CD=10+8=18cm$ là sai (vì $B,C,D$ không thẳng hàng).

Xét tam giác $BCD$:

$BC=10,\ CD=8,\ BD=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$.

Do đó kết luận $BD=CE$ không đúng với các dữ kiện đã cho.

b4) Trong tam giác $ADE$:

$M$ là trung điểm của $AD$,

$H$ là trung điểm của $AE$.

Suy ra: $MH\parallel DE$.

Mà $M,H$ đều thuộc $BC$ nên:

$MH\subset BC$.

Do đó: $DE\parallel BC$.

Lại có: $AE\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{AE\perp ED}$.

a) Có : \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\)

Mà : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

-Xét tam giác ABD và ACE có :

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

BD=CE(đều bằng AB)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

=> Tam giác ABD=ACE(c.g.c)

=> AD=AE

=> Tam giác ADE cân tại A(đccm)

b) Tam giác ABC cân tại A có : \(\widehat{BAC}=40^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-40^o}{2}=70^o\)

- Có : \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^o\)

\(\Rightarrow70^o+\widehat{ABD}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=110^o\)

- Xét tam giác ABD cân tại B(BD=AB) có :

\(\widehat{ABD}+\widehat{BAD}+\widehat{ ADB}=180^o\)

\(\Rightarrow110^o+\widehat{BAD}+\widehat{ADB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BDA}=\frac{180^o-110^o}{2}=35^o\)

- Tương tự, ta có : \(\widehat{AEC}=\widehat{CAE}=35^o\)

- Có : \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB} +\widehat{CAE}+\widehat{BAC}=35^o+35^o+40^o=110^o\)

Vậy : \(\widehat{D}=\widehat{E}=35^o,\widehat{DAE}=110^o\)

c) Tam giác ABD cân tại B(AB=BD) có \(BH\perp DA\)

=> HD=HA(t/c đg TT,PG,cao,.. của tam giác cân)

Tương tự có AK=KE

Mà : AD=AE(tam giác ADE cân tại A)

=> AH=AK

-Xét tam giác AHO và AKO, có :

AH=AK(cmt)

\(\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=90^o\)

AO-cạnh chung

=> Tam giác AHO=AKO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> HO=OK(đccm)

d) Do tam giác AHO=AKO(cmt)

=> \(\widehat{HAO}=\widehat{KAO}\)

\(\Rightarrow\widehat{HAB}+\widehat{BAO}=\widehat{KAC}+\widehat{CAO}\)

Mà : \(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}=35^o\left(cmt\right)\)

Mà :\(\widehat{BAO}+\widehat{CAO}=\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{40}{2}=20^o\)

- Gọi giao điểm của AO và BC là I

Xét tam giác AIB có : \(\widehat{BAI}+\widehat{ABI}+\widehat{AIB}=180^o\)

\(\Rightarrow20^o+70^o+\widehat{AIB}=180^o\)

\(\Rightarrow90^o+\widehat{AIB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=90^o\)

\(\Rightarrow AI\perp BC\left(đccm\right)\)

#H

Câu 2: 

a: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

b: Xét ΔMBC và ΔNCB có

MB=NC

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)

BC chung

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

Suy ra: \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

hay ΔIBC cân tại I

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6(cm)$.

Vậy $\boxed{AC=6cm}$.

b1) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên: $\boxed{CD\perp AC}$.

b2) Ta có: $AH\perp BC$ tại $H$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC^2=CH\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$$=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\triangle ACE$ cân tại $C$.

b3) Từ câu b1:

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD=8cm$.

Từ câu b2: $CE=AC=6cm$.

Trong tam giác vuông $ACD$:

$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$$=\sqrt{6^2+8^2}=10cm$.

Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AD=2AM$.

Mà $AM=\dfrac{BC}{2}=5cm$ nên: $AD=10cm$.

Suy ra tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có các cạnh $6;8;10$.

Khi đó: $BD=BC+CD=10+8=18cm$ là sai (vì $B,C,D$ không thẳng hàng).

Xét tam giác $BCD$:

$BC=10,\ CD=8,\ BD=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$.

Do đó kết luận $BD=CE$ không đúng với các dữ kiện đã cho.

b4) Trong tam giác $ADE$:

$M$ là trung điểm của $AD$,

$H$ là trung điểm của $AE$.

Suy ra: $MH\parallel DE$.

Mà $M,H$ đều thuộc $BC$ nên:

$MH\subset BC$.

Do đó: $DE\parallel BC$.

Lại có: $AE\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{AE\perp ED}$.