Cho 4 số a,b,c,d dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 sô

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt{4}\left(a^4.b^4.c^4.d^4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) (ĐPCM)

C1: Do \(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0\) nên áp dụng BĐT cauchy cho 4 số không âm ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}=4abcd\)

C2: Ta có: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4.b^4}+2\sqrt{c^4.d^4}=\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2+2c^2d^2}=4abcd\)

giả sử a=b=c=d => \(a^4+a^4+a^4+a^4=4.a.a.a.a\Leftrightarrow4a^4=4a^4\)=> thỏa mãn điều kiện đầu bài

=> điểu giả sử đúng

Áp đụng BĐT co si ta có:

a⁴+b⁴>2a²b²

b⁴+c⁴>2b²c²

c⁴+d⁴>2c²d²

d⁴+a⁴>2a²d²

=>2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)>2(a²b²+b²c²+c²d²+a²d²)

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴>a²b²+b²c²+c²d²+a²d²(1)

Dấu"=" xảy ra <=>a=b=c=d

Tiếp tục ta có:

a²b²+c²d²>2abcd

b²c²+a²d²>2bcd

=>a²b²+b²c²+c²d²+a²d²>4abcd(2)

Từ 1 và 2 =>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴>4abcd

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=d

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd<=>a=b=c=d

Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^4}=4abcd\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=d\))

\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{2016}{4}=504\)

Bài này em làm nhầm rồi nhé: chú ý: \(\sqrt[4]{\left(abcd\right)^4}=\left|abcd\right|\ne abcd\)  nhé!

\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\left(1\right)\\\left(c-d\right)\left(c+d\right)=0\left(2\right)\\ab-cd=0\left(3\right)\end{cases}}\)

Theo hai phương trình (1) và (2) ta được a=b và c=d( vì a,b,c,d là độ dài 4 cạnh của tứ giác lồi nên a+b và c+d >0 do đó a-b và c-d phải bằng 0)

Vì a=b và c=d nên thế vào phương trình (3) ta được\(a^2-c^2=0\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)\)Suy ra a=c

Vậy a=b=c=d hay abcd là hình thoi 

\(0=a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(a^2b^2-2ab.cd+c^2d^2\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi các số trong ngoặc bằng 0 hay \(a=b=c=d\)

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd

=>a^4-2a^2b^4+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2 b^2-4abcd + 2c^2 d^2=0

=> (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0

Tới đây có thể suy ra a+b+c+d

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(a^4,b^4,c^4,d^4\), ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2\cdot2c^2d^2}=2\cdot2\left|abcd\right|=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)

Dấu "=" khi a = b = c = d.

Cách khác áp dụng cho 4 số luôn:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\).

Vậy......................

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b²

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2a²b² + 2c²d²

⇔ VT ≥ 2\(\sqrt{4\text{a}^2b^2c^2d^2}\) = 4abcd = VP

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd