Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow2\dfrac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Rightarrow N=\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}+0\)
\(\Rightarrow N=\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow N=\left(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{a-c}+\dfrac{1}{b-c}\right)^2\) (đpcm)
\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2.\dfrac{a+b+c}{abc}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2.\dfrac{0}{abc}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a}{abc}+\dfrac{b}{abc}+\dfrac{c}{abc}=\dfrac{a+b+c}{abc}=0\left(a+b+c=0\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
\(\)1 a b + 1 b c + 1 c a = a a b c + b a b c + c a b c = a + b + c a b c = 0 ( a + b + c = 0 ) ⇒ 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 2 ( 1 a b + 1 b c + 1 c a ) = ( 1 a + 1 b + 1 c ) 2
Từ \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{b^2\left(a+b\right)^2+a^2\left(a+b\right)^2+\left(ab\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^2b^2+2ab^3+b^4+a^4+2a^3b+a^2b^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^4+2ab^3+2a^3b+3a^2b^2+b^4}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+ab+b^2\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}=\left[\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\right]^2\) là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)
đánh mỏi tay đó ))))
Với mọi a , b , c \(\in\)R ta luôn có :
\(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)> hoặc = \(2bc+2ca-2ab\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh ( 1 ) là bất đẳng thức đúng
\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)+ 2ab - 2bc - 2ca > hoặc = 0
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)^2\) > hoặc = 0 ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi a ; b ; c mà các phép biến đổi trên tương ứng
Nên bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh
Xảy ra khi và chỉ khi a + b = c
Mà \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)= \(\frac{5}{3}\)( gt )
Mà \(\frac{5}{3}\)= \(1\frac{2}{3}\)< 2 ( 3 )
Từ ( 1 ) kết hợp với ( 3 ) ta có thể viết :
2bc + 2ca - 2ab < hoặc = \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)< 2
\(\Rightarrow\)2bc + 2ca - 2ab < 2
Vì a ; b ; c > 0 nên chia cả 2 vế của bđt cho 2abc
\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy với a ; b ; c là các số dương thỏa mãn điều kiện : \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)= \(\frac{5}{3}\)thì ta luôn chứng minh được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
25 ban oi
???
25 j vậy
Lời giải:
Đặt \(\left(\frac{a}{b^2}, \frac{b}{c^2}, \frac{c}{a^2}\right)=(x,y,z)\)
\(\Rightarrow xyz=\frac{abc}{a^2b^2c^2}=\frac{1}{abc}=1\)
Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)-1+z(x+y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)+z(x+y-1-xy)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)-z(x-1)(y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(1-z)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a-b^2}{b^2}.\frac{b-c^2}{c^2}.\frac{a^2-c}{a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b^2)(b-c^2)(c-a^2)=0\)
Do đó ta có đpcm.
làm cho vui