Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi $AC=a,\ AB=b$ nên $BC=a+b$.
a) Chứng minh $CM\cdot CD$ không phụ thuộc vào $M$Vì $M$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BMC}=90^\circ$
Mà $D,C,M$ thẳng hàng và $A,D$ cùng thuộc đường thẳng vuông góc với $AC$ nên:
$\widehat{CAD}=\widehat{BMC}=90^\circ$
Xét hai tam giác $\triangle CAD$ và $\triangle CMB$:
$\widehat{CAD}=\widehat{CMB}=90^\circ$
$\widehat{ACD}=\widehat{MCB}$
$\Rightarrow \triangle CAD\sim\triangle CMB$
Suy ra:
$\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$
$\Rightarrow CM\cdot CD=\dfrac{CB}{CA},CM^2$
Cách này không cho hằng số trực tiếp, nên ta dùng hệ thức lượng.
Từ tam giác vuông $CMB$:
$CM^2=CB\cdot CH$
với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $CB$.
Do đó:
$CM\cdot CD=CB\cdot CA$
Vậy:
$\boxed{CM\cdot CD=CA\cdot CB}$
không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
b) Tứ giác $APND$ là hình gì?Vì $A,M,N$ thẳng hàng và $A,D\perp AC$ nên:
$\widehat{DAN}=90^\circ$
Mặt khác, $N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BNC}=90^\circ$
Do $A,C,B$ thẳng hàng nên:
$\widehat{ANP}=90^\circ$
Vậy:
$\widehat{DAN}=\widehat{ANP}=90^\circ$
Suy ra $A,D,N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$.
Hơn nữa, $AP\parallel DN$ và $AN\parallel DP$, nên $APND$ là hình bình hành có một góc vuông.
Do đó:
$\boxed{APND\text{ là hình chữ nhật}}$.
a: Gọi O là trung điểm của BC
=>O là tâm đường tròn đường kính BC
Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
=>BM⊥DC tại M
Xét tứ giác DABM có \(\hat{DAB}+\hat{DMB}=90^0+90^0=180^0\)
nên DABM là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔCMB vuông tại M và ΔCAD vuông tại A có
\(\hat{MCB}\) chung
Do đó: ΔCMB~ΔCAD
=>\(\frac{CM}{CA}=\frac{CB}{CD}\)
=>\(CM\cdot CD=CA\cdot CB\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M
a) Trong tam giác OIK có:
|OK −− OI| < IK < |OK + OI| hay ∣R−r∣<IK<∣R+r∣∣R−r∣<IK<∣R+r∣.
Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OM = OI + IM = OI + OK;
ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra ΔBLP=ΔKOIΔBLP=ΔKOI. Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.
Tham khỏa tại: Đáp án đề thi vào lớp 10 môn Toán THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
a:
Gọi O là trung điểm của BC
=>O là tâm đường tròn đường kính BC
Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
=>BM⊥CD tại M
Xét tứ giác DABM có \(\hat{DAB}+\hat{DMB}=90^0+90^0=180^0\)
nên DABM là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔCMB vuông tại M và ΔCAD vuông tại A có
\(\hat{MCB}\) chung
Do đó: ΔCMB~ΔCAD
=>\(\frac{CM}{CA}=\frac{CB}{CD}\)
=>\(CM\cdot CD=CB\cdot CA\)