Xét đg tròn tâm O đg kính AB tại D

Vì góc ACB là có nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)

=> góc ACB= 90 độ

Xét (I) có góc MCN là góc nội tiếp chắn cung MN

mà góc MCN= 90 độ

=> MN là đường kính của (I)

=> 3 điểm M,I,N thẳng hàng

b) vì Δ CIN cân tại I( IC=IN=R)

=> góc ICN= góc INC

lại có Δ COB cân tại O(OC=OB=R)

=> góc OCB= góc OBC

=> góc INC= góc OBC ( cùng = góc OCB)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của 2 đường thẳng MN và AB

=> MN // AB

lại có ID vuông góc với AB

=> ID vuông góc với MN( đpcm)

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥BC tại I

Ta có: \(\hat{OIA}=\hat{OMA}=\hat{ONA}=90^0\)

=>O,I,M,A,N cùng thuộc đường tròn đường kính OA

=>O,I,M,N cùng thuộc một đường tròn

b: Gọi K là giao điểm của MN và OA

Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA⊥MN tại K và K là trung điểm của MN

Xét ΔOKH vuông tại K và ΔOIA vuông tại I có

\(\hat{KOH}\) chung

Do đó: ΔOKH~ΔOIA

=>\(\frac{OK}{OI}=\frac{OH}{OA}\)

=>\(OI\cdot OH=OK\cdot OA\left(3\right)\)

Xét ΔOMA vuông tại M có MK là đường cao

nên \(OK\cdot OA=OM^2=R^2\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(OI\cdot OH=R^2\)

Gọi O1 , O2 ,O3 lần lượt là tâm của ba đường tròn

Ta có: ( O 1 ) cắt ( O 2 ) tại A, ( O 2 ) cắt ( O 3 ) tại C , ( O 3 ) cắt ( O 1 ) tại B

Suy ra: D là điểm nằm trên ( O 3 )

DB cắt ( O 1 ) tại M, DC cắt ( O 2 ) tại N

Nối MA, NA, PA, PB, PC ta có các tứ giác nội tiếp AMBP, BDCP và APCN

*Tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn ( O 1 ) nên ta có:

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng \(360^0\) mà \(\widehat{CBE}+\widehat{EFC}=180^0\) nên suy ra \(\widehat{BCF}+\widehat{BEF}=180^0\)

gọi Ex là tia đối của tiếp tuyến EA

Ta có : \(\widehat{xED}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ED}\); \(\widehat{EFD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{ED}\)\(\Rightarrow\widehat{xED}=\widehat{EFD}\)( 1 )

Dễ thấy tứ giác AFOE nội tiếp

I là trung điểm của BC nên OI \(\perp\)BC \(\Rightarrow\)tứ giác AIOE nội tiếp

\(\Rightarrow\)5 điểm A,F,I,O,E cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\)tứ giác AFIE nội tiếp \(\Rightarrow\)\(\widehat{EAI}=\widehat{EFI}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\widehat{xED}=\widehat{EAI}\Rightarrow ED//AC\)

Gọi N là giao điểm của AO và EF

Dễ chứng minh AN \(\perp\)EF

\(\DeltaẠNH~\Delta AIO\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AN}{AH}=\frac{AI}{AO}\Rightarrow AI.AH=AN.AO\)( 3 )

Ta có : \(AE^2=AN.AO\)( 4 )

Xét \(\Delta AEB\)và \(\Delta ACE\)có :

\(\widehat{EAC}\)( chung ) ; \(\widehat{AEB}=\widehat{ACE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{EB}\)

\(\Rightarrow\Delta AEB~\Delta ACE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AE^2=AB.AC\)( 5 )

Từ ( 3 ) , ( 4 ) và ( 5 ) suy ra : AH.AI = AB.AC

đề bạn cho thiếu nhé. đoạn cuối AH. AI = AB . AC với H là giao điểm của AC và EF