100\(\le\)\(n^2\)-1=\(\overline{abc}\)\(\le\)999

\(\Rightarrow\)100<101\(\le\)\(n^2\)=\(\overline{abc}\)+1\(\le\)1000

\(\Rightarrow\)\(10^2\)<\(n^2\)<\(32^2\)\(\Rightarrow\)10<n<32

\(\overline{abc}\)-\(\overline{cba}\)=\(n^2\)-1-\(n^2\)+4n-4

\(\overline{abc}\)-\(\overline{cba}\)=(\(n^2\)-\(n^2\))+4n-1-4

\(\overline{abc}\)-\(\overline{cba}\)=0+4n-5

(100.a+10.b+c)-(100c+10b+a)=4n-5

99a-99c=4n-5

\(\Rightarrow\)4n-5\(⋮\)99(1)

Vì 10<n<32\(\Rightarrow\)35<4n<123(2)

Từ (1) và(2) \(\Rightarrow\)4n-5=99

\(\Rightarrow\)n=99+5 :4 =26

\(\overline{abc}\)=\(26^2\)-1

\(\overline{abc}\)=675

\(\overline{cba}\)=576

abc = một trong các số có 3 chữ số

OK

 1 + 2 + 3 + ... + n = \(\overline{aaa}\)

=> ( n + 1 ) x n : 2 = 3 x 37 x a

=> n x ( n + 1 ) = 6a x 37

Vì n x ( n + 1 ) là tích 2 số liên tiếp nên 6a x 37 là tích 2 số tự nhiên liên tiếp 

=> 6a = 36

=> a = 6 ( vì a \(\in\) N )

Do đó n x ( n + 1 ) = 36 x 37

=> n = 36 ( vì n \(\in N\)*)

Vậy n = 36; a = 6

Bài 1b:

\(\frac31\) + \(\frac33\) + \(\frac36\) + \(\frac{3}{10}\) + ...+\(\frac{3}{x\left(x+1\right):2}\) = \(\frac{2015}{336}\)

3.(\(\frac11+\frac13+\frac16+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1):2\right.})\) = \(\frac{2015}{336}\)

3.2(\(\frac12+\frac16+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1\right)})=\) \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\cdots+\frac{1}{x.\left(x+1\right)})\) = \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac11-\frac12\) + \(\frac12\)-\(\frac14\) +...+ \(\frac{1}{x}\) - \(\frac{1}{x+1}\)) = \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac11\) - \(\frac{1}{x+1}\)) = \(\frac{2015}{336}\)

1 - \(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{2015}{336}\) : 6

1 - \(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{2015}{2016}\)

\(\frac{1}{x+1}\) = 1 - \(\frac{2015}{2016}\)

\(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{1}{2016}\)

\(x+1\) = 2016

\(x\) = 2016 - 1

\(x\) = 2015

Bài 2:

A = \(\frac{6n+1}{4n+3}\) (n ∈ Z\(^{-}\))

A ∈ Z khi và chỉ khi:

(6n + 1) ⋮ (4n + 3)

(12n + 2) ⋮ (4n + 3)

[3(4n + 3) - 7] ⋮ (4n + 3)

7 ⋮ (4n + 3)

(4n + 3) ∈ Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}

n ∈ {- 5/2; -1; - 1/2; 1}

Nếu n = - 1 thì A = (-6 + 1)/(-4 + 3) = 5 (loại)

Nếu n = 1 thì: A = (6 + 1).(4+3) = 1 (loại)

Không có giá trị nào thỏa mãn đề bài hay n ∈ ∅

Ta có:1+2+3+...+x = x.(x+1):2

         =>x(x+1):2   =aaa=a.111

             x.(x+1)    =a.111.2=a.222=a.37.6=(a.6).37

        Vì x va (x+1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên (a.6) và 37 là 2 STN liên tiếp=> a=6   ==> x=36

            vậy x=36

(x-5)=81

1+2+3+...+n=aaa

n(n+1) :2= a.111

n(n+1):2=a.3.37

n(n+1)=2.3.37.a

n(n+1)=6.37.a

vì n thuộc N*

=>n+1 thuộc N*

=>n(n+1) là hai số tự nhiên liên tiếp

mà 6.37.a với a là chữ số

=>6.a và 37 là 2 số t/n liên tiếp

=>6a =36

=>a=6  

với a=6 thì n=36

vậy a=6 và n=36

1.

\(\dfrac{19.20}{19+20}=\dfrac{380}{39}=9\dfrac{29}{39}\)

\(\dfrac{\overline{aaa}}{\overline{aa}}=\dfrac{111.a}{11.a}=\dfrac{111}{11}=10\dfrac{1}{11}\)

\(\dfrac{\overline{ababa}}{\overline{aba}}=\dfrac{100.\overline{aba}+\overline{ba}}{\overline{aba}}=\dfrac{100.\overline{aba}}{\overline{aba}}+\dfrac{\overline{ba}}{\overline{aba}}=100\dfrac{\overline{ba}}{\overline{aba}}\)

2.

\(6\dfrac{23}{41}=\dfrac{6.41+23}{41}=\dfrac{269}{41}\)

\(a\dfrac{a}{99}=\dfrac{a.99+a}{99}=\dfrac{100.a}{99}=\dfrac{\overline{a00}}{99}\)

\(1\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{a+b+a-b}{a+b}=\dfrac{2.a}{a+b}\)

3.

\(\dfrac{69}{1000}=0,069\)

\(8\dfrac{77}{100}=8,77\)

\(\dfrac{34567}{10^4}=\dfrac{34567}{10000}=3,4567\)

\(\dfrac{\overline{abc}}{10^n}=\dfrac{\overline{abc}}{10...0}=\overline{0,0...0abc}\)

n số hạng 0 n - 3 số hạng 0 ở phần thập phân