http://olm.vn/hoi-dap/question/100062.html

Bản thân bài này nếu không cho cụ thể thì ta phải xét từng trường hợp

TH1:$n\ge 0$ xét các khả năng sau

a)..a<b
b) ..a>b>0 
c)...a=b

TH2 : n<0 xét các khả năng như ở trên 

Ở đây mình sẽ là mẫu trường hợp 1 còn lại thì bạn suy luân tiếp
a) : a < b => a/b < (a+n) / (b+n) (1)
thật vậy (1) <=> ab + an < ab + bn <=> n.(a-b) <0 ( đúng với mọi a < b và b ; b + n > 0 )
b) : a> b > 0 => a/b > (a+n) / (b+n) (2)
thật vậy (2) <=> ab+an > ab + bn <=> n(a-b) > 0 ( đúng với mọi a > b và b ; b + n > 0 )
c): a = b > 0 => a/b = (a+n) / (b+n) = 1

xét hiệu

\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)

vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\) (hằng đẳng thức)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\) ; Bình phương luôn dương => Tử dương (1)

TH1: a và b âm => mẫu dương + (1)=> A>=2 . Ngoại lệ Tử bé hơn mẫu => A<2

TH2: a âm và b dương => mẫu âm + (1) => A<2

TH3  : a dương và b âm => mẫu âm +(1) => A<2

Vì a<b => \(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

Rõ hơn đi bạn 

a/b>a+m/b+m

bang nhau

a) Ta có n.(n+1).(n+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp và các số chia hết cho 6 là các số chia hết cho 2 và 3.

- n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.

+ Nếu n là số lẻ thì n + 1 là số chẵn => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.

+ Nếu n là số chẵn => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.

Vậy n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2 với mọi n.

- n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia hết cho 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia 3 dư 1 thì n + 2 chia hết cho 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

Vậy n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n.

Vì n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2 và 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6.

b) A = 19²⁰⁸+1 / 19²⁰⁰+ 1. Vì 19²⁰⁸ > 19²⁰⁰ và 1 = 1 => 19²⁰⁸+1 > 19²⁰⁰+ 1 => A > 1 (vì tử lớn hơn mẫu)

B= 19²⁰⁰+1/ 19²¹⁰ +1 . Vì 19²⁰⁰ > 19²¹⁰ và 1 = 1 => 19²⁰⁰ + 1 < 19²¹⁰ + 1 => B < 1 (vì tử bé hơn mẫu)

Vì A > 1 , B < 1 => A > B. ( tính chất bắt cầu)

a+n/b+n nha mình quên không giữ shift

Trường hợp 1 : \(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)  thì \(\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1\)

Trường hợp 2 : \(\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow a+n>b+n\)

Mà  \(\frac{a+n}{b+n}\) có phần thừa so với 1 là \(\frac{a-b}{b+n}\); \(\frac{a}{b}\)có phần thừa so với 1 là  \(\frac{a-b}{b},\) vì \(\frac{a-b}{b+n}< \frac{a-b}{b}\)nên 

\(\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

Trường hợp 3 :  \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow a+n< b+n\) khi đó \(\frac{a+n}{b+n}\)có phần bù tới 1 là \(\frac{b-a}{b+n}\); \(\frac{a}{b}\)có phần bù tới 1 là \(\frac{b-a}{b},\)vì \(\frac{b-a}{b+n}< \frac{b-a}{b}\)nên \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

Study well ! >_<