VỚI A>B SUY RA A/B >1 => (A+N)B=AB+BN>AB+AN=A(B+N)=>A+N/B+N > A/B

VỚI A<B TƯƠNG TỰ SUY RA A+N/B+N < A/B 

VỚI A=B SUY RA A+N/B+N = A/B

Ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b^2+bn}\)

\(\frac{a+n}{b+n}=\frac{\left(a+n\right)b}{\left(b+n\right)b}=\frac{ab+bn}{b^2+bn}\)

TH1 : a < b ; ta có :

\(ab+an< ab+bn\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

TH2: a > b ta có:

\(ab+an>ab+bn\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

Với \(a=b\) thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)

xét hiệu

\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)

vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\) (hằng đẳng thức)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\) ; Bình phương luôn dương => Tử dương (1)

TH1: a và b âm => mẫu dương + (1)=> A>=2 . Ngoại lệ Tử bé hơn mẫu => A<2

TH2: a âm và b dương => mẫu âm + (1) => A<2

TH3  : a dương và b âm => mẫu âm +(1) => A<2

Vì a<b => \(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

Rõ hơn đi bạn 

a/b>a+m/b+m

bang nhau

a) Ta có n.(n+1).(n+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp và các số chia hết cho 6 là các số chia hết cho 2 và 3.

- n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.

+ Nếu n là số lẻ thì n + 1 là số chẵn => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.

+ Nếu n là số chẵn => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.

Vậy n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2 với mọi n.

- n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia hết cho 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia 3 dư 1 thì n + 2 chia hết cho 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3.

Vậy n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n.

Vì n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2 và 3 => n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6.

b) A = 19²⁰⁸+1 / 19²⁰⁰+ 1. Vì 19²⁰⁸ > 19²⁰⁰ và 1 = 1 => 19²⁰⁸+1 > 19²⁰⁰+ 1 => A > 1 (vì tử lớn hơn mẫu)

B= 19²⁰⁰+1/ 19²¹⁰ +1 . Vì 19²⁰⁰ > 19²¹⁰ và 1 = 1 => 19²⁰⁰ + 1 < 19²¹⁰ + 1 => B < 1 (vì tử bé hơn mẫu)

Vì A > 1 , B < 1 => A > B. ( tính chất bắt cầu)

a+n/b+n nha mình quên không giữ shift

Trường hợp 1 : \(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)  thì \(\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1\)

Trường hợp 2 : \(\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow a+n>b+n\)

Mà  \(\frac{a+n}{b+n}\) có phần thừa so với 1 là \(\frac{a-b}{b+n}\); \(\frac{a}{b}\)có phần thừa so với 1 là  \(\frac{a-b}{b},\) vì \(\frac{a-b}{b+n}< \frac{a-b}{b}\)nên 

\(\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

Trường hợp 3 :  \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow a+n< b+n\) khi đó \(\frac{a+n}{b+n}\)có phần bù tới 1 là \(\frac{b-a}{b+n}\); \(\frac{a}{b}\)có phần bù tới 1 là \(\frac{b-a}{b},\)vì \(\frac{b-a}{b+n}< \frac{b-a}{b}\)nên \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

Study well ! >_<