\(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

vì a,b,n ddeu lá số khác 0 nên khi    \(\frac{a+b}{b+n}>\frac{a}{b}\)

Vì a/b=a/b nên khi a+n/b+n>a/b

vậy a+n/b+n>a/b

ta có: \(a.\left(b+n\right)=ab+an;b.\left(a+n\right)=ba+bn\)

nếu a < b

=> ab + an < ba + bn

=> a.(b+n) < b.(a+n)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

nếu a = b

...

---> a/b = a+n/b+n

nếu a > b

...

----> a/b > a+n/b+n

Theo mk thì \(a,b,n\in N\)

Xét hiệu:

\(\frac{a}{b}-\frac{a+n}{b+n}=\frac{a.\left(b+n\right)-\left(a+n\right).b}{b.\left(b+n\right)}=\frac{an-bn}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(a-b\right)}{b.\left(b+n\right)}\)

Với \(a=b\Rightarrow a-b=0\Rightarrow\frac{n.\left(a-b\right)}{b.\left(b+n\right)}=0\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)

Với \(a>b\Rightarrow a-b>0\Rightarrow\frac{n.\left(a-b\right)}{b.\left(b+n\right)}>0\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

Với \(a< b\Rightarrow a-b< 0\Rightarrow\frac{n.\left(a-b\right)}{b.\left(b+n\right)}< 0\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a=b\)

      \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a>b\)

      \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow a< b\)

Tham khảo nhé~

Bài 1:

a; Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N*

Ta có: \(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\)

\(\frac{a+c}{b+c}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+c}\)

Vì a;b; c ∈ N* và a < b nên

\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+c}\)

⇒ \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Hai phân số phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn)

Vậy Cho a/b < 1 và a; b; c ∈ N* thì: \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\) (Đpcm)

Câu 3:

Để 15/7 và 35/19 nhân cùng với một phân số tự sẽ được một số tự nhiên thì tử số của phân số đó phải chia hết cho 7 và 19

7 = 7; 19 = 19. Mẫu số của phân số đó phải là Ước Chung lớn nhất của 15 và 35

BCNN(7; 19) = 7.19 = 133

Vì tử số là số tự nhiên nhỏ nhất nên nó phải là BCNN(7; 19) = 133

15 = 3.5; 35 = 5.7

ƯCLN(15; 35) = 5

Phân số cần tìm là: 133/5

a=4,b=3

m=3,n=2

a) Ta có: \(A=\frac{3n+2}{n}=3+\frac{2}{n}\)

A là số nguyên <=> n \(\in\)Ư ( 2 ) = { -2; -1; 1; 2 }

b) Thiếu điều kiện n là số nguyên dương.

Xét hiệu: \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{b\left(a+n\right)-a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ba+bn-ab-an}{b\left(b+n\right)}\)

\(=\frac{bn-an}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}\)

TH1: b > a 

=> b - a > 0

=> \(\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}>0\)

=> \(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

TH2: b <  a 

=> b - a < 0

=> \(\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}< 0\)

=> \(\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

TH1: b = a 

=> b - a = 0

=> \(\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}=0\)

=> \(\frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}\)

Kết luận:...

a)Để A nguyên thì (3n+2)chia hết  cho n mà 3n chia hết cho n nên 2 phải chia hết cho n =>n\(\varepsilon\){2;1;-1;-2}

b)\(\frac{a+n}{b+n}\)=\(\frac{a}{b}\)+1>\(\frac{a}{b}\)=> Điều cần chứng minh

Bài 4:

Giải:

Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{b}\) x \(\frac{14}{15}\) = n và \(\frac{a}{b}\) x \(\frac{21}{10}\) = m; (n ; m ∈ N*) khi đó:

(\(\frac{a}{b}\) x \(\frac{14}{15}\)) : (\(\frac{a}{b}\) x \(\frac{21}{10}\)) = \(\frac{n}{m}\) = \(\frac49\)

Vì (a; b) = 1 nên n = 4 và m = 9

Phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac{a}{b}=\) 4 : \(\frac{14}{15}\) = \(\frac{30}{7}\) \(\)

Kết luận phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac{30}{7}\)

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Bài 5:

Phân số nghịch đảo của phân số: \(\frac{6}{n}\) là: \(\frac{n}{6}\)

Nghịch đảo của phân số \(\frac{11}{n+7}\) là: \(\frac{n+7}{11}\)

Theo bài ra ta có: n ⋮ 6 và (n + 7) ⋮ 11

(n + 84) ⋮ 6 và (n + (7 + 77)) ⋮ 11

(n + 84) ⋮ 6 và (n + 84) ⋮ 11

(n + 84) ∈ BC(6; 11)

6 = 2.3; 11 = 11; BCNN(6; 11) = 2.3.11 = 66

(n + 84) ∈ B(66) = {0; 66; 132; 198;...}

n ∈ {-84; - 18; 48; 114;...}

Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 48

Vậy n = 48

Do \(\frac{a}{b}< 1\)=> a < b

=> a.m < b.m

=> a.m + a.b < b.m + a.b

=> a.(b + m) < b.(a + m)

=> \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

trong tối nay nha huhu

phải là Lục Cẩn Niên chứ !