Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :

\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{y}\sqrt{z}\right)^2=\left(x+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

Tương tự ta CM được:

\(\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{xz}\) ; \(\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge z+\sqrt{yx}\)

đặt vế trái của BĐT cần CM là A

\(\Rightarrow A=\left(x+y\right)\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\left(z+x\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)

\(\ge\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)+\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)+\left(z+x\right)\left(y+\sqrt{zx}\right)\)

\(=\sqrt{xy}\left(x+y\right)+\sqrt{yz}\left(y+z\right)+\sqrt{zx}\left(z+x\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge2xy+2yz+2zx+2\left(xy+yz+zx\right)=4\left(xy+yz+zx\right)\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Lời giải:

Vì $xy+yz+xz=1$ nên:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)\)

\(y^2+1=y^2+xy+yz+xz=(y+x)(y+z)\)

\(z^2+1=z^2+xy+yz+xz=(z+y)(z+x)\)

Do đó:

\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\)

\(=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}\) (đpcm)

Lời giải:

Vì $xy+yz+xz=1$ nên:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)\)

\(y^2+1=y^2+xy+yz+xz=(y+x)(y+z)\)

\(z^2+1=z^2+xy+yz+xz=(z+y)(z+x)\)

Do đó:

\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\)

\(=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}\) (đpcm)

Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V

Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V

Bài 7: Tương đương

( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)

Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị

@Ace Legona @Akai Haruma @Hung nguyen @Hà Nam Phan Đình @Neet

Lời giải:

Từ \(x+y-z=-1\Rightarrow z-x-y=1\)

Ta có các biến đổi sau:

\(x+yz=x(z-x-y)+yz=x(z-x)+y(z-x)=(x+y)(z-x)\)

\(=(x+y)(y+1)\)

\(y+zx=y(z-x-y)+zx=y(z-y)+x(z-y)=(y+x)(z-y)\)

\(=(y+x)(x+1)\)

\(z+xy=z(z-x-y)+xy=(z-x)(z-y)=(x+1)(y+1)\)

Khi đó:\(P=\frac{x^3y^3}{(x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3}(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\((x+y)^2\geq 4xy\)

\(x+1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{4}}\Rightarrow (x+1)^3\geq \frac{27x^2}{4}\)

\(y+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}\Rightarrow (y+1)^3\geq \frac{27y^2}{4}\) (tương tự ở trên)

\(\Rightarrow (x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3\geq \frac{729}{4}x^3y^3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow P\leq \frac{x^3y^3}{\frac{729}{4}x^3y^3}=\frac{4}{279}\Rightarrow P_{\max}=\frac{4}{729}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=2; z=5\)