bn tìm đề thi hsg tỉnh thanh hóa lớp 9 năm nào đó là thấy

bài này dài,ngại làm

đặt là được

Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

gt\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

Vì \(x^2,y^2,z^2\ge0\) và các phép trừ trong ngoặc lớn hơn 0

nên x=y=z=0

=> M=0+0+0=0

b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz) 

\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky) 

\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)

\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3 

trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)

Ta có:

\(\sqrt{x^2+y^2}\leq x+y\)

\(\sqrt{y^2+z^2}\leq y+z\)

\(\sqrt{z^2+x^2}\leq z+x\)

Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:

\(2015\leq 2(x+y+z)\)

Suy ra:

\(x+y+z\geq \dfrac{2015}{2}\) (1)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có:

\(T=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(\displaystyle T\geq \frac{(x+y+z)^2}{(y+z)+(x+z)+(x+y)}\)

\(\displaystyle T\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\)

\(\displaystyle T\geq \frac{x+y+z}{2}\)

Từ (1), suy ra:

\(\displaystyle T\geq \frac{2015}{4}\)