Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Trần Thanh Phương - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Tự lực cánh sinh thôi...
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
2.
\(8ab-2=3\left(a^4+b^4\right)\ge6a^2b^2\Leftrightarrow3a^2b^2-4ab+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le ab\le1\)
Khi đó:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{2}{ab+1}=\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\le\frac{2}{ab+1}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{ab+1}+\frac{ab}{3a^2b^2+1}\)
Đặt \(ab=x\Rightarrow\frac{1}{3}\le x\le1\Rightarrow P\le\frac{2}{x+1}+\frac{x}{3x^2+1}\)
\(P\le\frac{2}{x+1}+\frac{x}{3x^2+1}-\frac{7}{4}+\frac{7}{4}=\frac{-21x^3+7x^2-3x+1}{4\left(x+1\right)\left(3x^2+1\right)}+\frac{7}{4}\)
\(P\le\frac{\left(7x^2+1\right)\left(1-3x\right)}{4\left(x+1\right)\left(3x^2+1\right)}+\frac{7}{4}\le\frac{7}{4}\) ; \(\forall x\ge\frac{1}{3}\)
\(P_{max}=\frac{7}{4}\) khi \(x=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
1.
Ta có: \(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\)
\(\Leftrightarrow a^2-4+2bc+abc\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(a-2\right)+bc\left(a+2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(bc+a-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow bc+a\le2\) (1)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 1
Giả sử đó là b và c \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\Rightarrow abc+a\ge ab+ac\)
\(\Rightarrow abc\ge ab+ac-a\Rightarrow abc+2\ge ab+ac-a+2\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(ab+ac-a+2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+bc\le2\) (đúng theo (1)) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(BDT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2+2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
Từ đây ta thấy trong 3 số a,b,c sẽ có 2 số hoặc cùng \(\ge1\) hoặc cùng \(\le1\).giả sử 2 số đó là a và b suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
Vậy BĐT đầu luôn đúng
Thích Dirichlet thì chơi Dirichlet
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số (a - 1); (b - 1); (c - 1) luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là (a - 1) và (b - 1).
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)
Giờ ta cần chứng minh
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
Haiz giải ra rồi
Ta có : \(VT=\Sigma\left(\frac{a^2-bc}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{2k\left(a^2-bc\right)}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{2ka^2-2kbc}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{2ka^2+k^2b^2+c^2+2ka^2-2kbc-2ka^2-k^2b^2-c^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{2kbc-2ka^2+2ka^2+k^2b^2+c^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{k^2b^2+2kbc+c^2}{\left(k^2b^2+ka^2\right)+\left(ka^2+c^2\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{\left(kb+c\right)^2}{\left(k^2b^2+ka^2\right)+\left(ka^2+c^2\right)}\right)\ge0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT=\Sigma\left(1-\frac{\left(kb+c\right)^2}{\left(k^2b^2+ka^2\right)+\left(ka^2+c^2\right)}\right)\ge\Sigma\left[1-\left(\frac{k^2b^2}{k^2b^2+ka^2}+\frac{c^2}{ka^2+c^2}\right)\right]\)
\(=3-\left(\frac{k^2b^2+ka^2}{k^2b^2+ka^2}+\frac{ka^2+c^2}{ka^2+c^2}+\frac{k^2b^2+c^2}{k^2b^2+c^2}\right)=3-3=0\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\k>0\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(1-\frac{2k\left(a^2-bc\right)}{2ka^2+k^2b^2+c^2}=\frac{\left(kb+c\right)^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\)
Ta có thể viết lại bất đẳng thức thành
\(\sum\frac{\left(kb+c\right)^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\le3\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\frac{\left(kb+c\right)^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}=\frac{\left(kb+c\right)^2}{k\left(a^2+kb^2\right)+c^2+ka^2}\le\frac{kb^2}{a^2+kb^2}+\frac{c^2}{c^2+kc^2}\)
Tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\), hoặc \(a=\frac{b}{k}=\frac{c}{k^2}\), hoặc \(b=\frac{c}{k}=\frac{a}{k^2}\), hoặc \(c=\frac{a}{k}=\frac{b}{k^{^2}}\)
Hoặc ta có thể làm như sau.
\(\frac{\left(kb+c\right)^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}=\frac{kb^2}{a^2+kb^2}+\frac{c^2}{c^2+kc^2}-\frac{k\left(a^2-bc\right)^2\left(kb-c\right)^2}{\left(a^2+kb^2\right)\left(c^2+kc^2\right)\left(2ka^2+k^2b^2+c^2\right)}\)
Ta có đẳng thức sau:
\(\sum\frac{\left(kb+c\right)^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}=3-p\sum\frac{\left(a^2-bc\right)^2\left(kb-c\right)^2}{\left(a^2+kb^2\right)\left(c^2+ka^2\right)\left(2ka^2+k^2b^2+c^2\right)}\)
\(\sum\frac{a^2-bc}{2ka^2+k^2b^2+c^2}=\frac{1}{2}\sum\frac{\left(a^2-bc\right)^2\left(kb-c\right)^2}{\left(a^2+kb^2\right)\left(c^2+ka^2\right)\left(2ka^2+k^2b^2+c^2\right)}\)
Do đó, bất đẳng thức ban đầu tương đương với
\(\sum\frac{\left(b^2+kc^2\right)\left(a^2-bc\right)^2\left(kb-c\right)^2}{2ka^2+k^2b^2+c^2}\ge0\)
tth Akai Haruma Ace Legona Nguyễn Việt Lâm
ái chà chà, k là hằng số hay sao đây/ hay là bđt 4 biến đó??
k là tham số đó
Trần Thanh Phương:v tưởng 4 biến thì chết mất
P/s: bổ sung thêm là \(k\) trên đây là hằng số, không phải là biến nhé
Luân Đào Akai Haruma tth Ace Legona Nguyễn Việt Lâm svtkvtm Nguyễn Thành Trương Vũ Huy Hoàng
sao đưa lên câu hỏi hay được vậy vậy nhỉ?
tth a hack mà
Trần Thanh Phương xạo là ko tốt đâu nha:)
thôi bận rồi, thay a gánh team nhé ;)
cyc là cái gì/
Phạm Hoàng Lê Nguyêncyc là cycle đi cùng với kí hiệu sigma có nghĩa là tổng xoay vòng
Tổng xoay vòng là cái gì?
cyclic nhé đừng nói bậy ko người ta cười cho đấy :)
Acoustic trong sách ghi là cyclic, nhưng tra trên wiki thì nó ghi là cycle, có lẻ đây là có 2 tên gọi khác nhau thôi, hoặc có thể là giống nhau nhưng viết khác nhau, có nhiều viết là cyclic, còn có người viết là cycle, mình mới tìm hiểu, chắc có lỗi sai, mong bạn chỉ giáo ?
Mình cx chả hiểu tổng xoay vòng là gì nhưng hình như bài này có rồi...
Phạm Hoàng Lê Nguyên bác 2k4 hay 2k5 vậy
2k4
bài này hay đấy bạn chắc phải dùng cong cu mạnh mới làm dc :3 vì dấu "=" chỉ xảy ra khi a=b=c
Acoustic có gợi ý là dùng Cauchy-Schwarz ạ
Acoustic làm được trong đêm nay ko :v
cái dòng tương đương đầu tiên
ko hiểu lắm chỗ khúc \(\Sigma\left[1-\left(\frac{k^2b^2}{k^@b^2+ka^2}+\frac{c^2}{ka^2+c^2}\right)\right]=3-\left(\frac{k^2b^2+ka^2}{k^2b^2+ka^2}+...\right)\)
sao có cái đẳng thức này (ở khúc gần cuối)
Tự đăng tự giải hả chế ._.
Mà bài này khó dzữ vậy ??
Bài này có thể làm mạnh hơn được
Lê Thảo Bài này ưu thế về đẹp, chưa phải khó
Cách thứ 2 đúng là mạnh hơn thật :)
Trần Thanh Phương Cách làm mà mạnh hơn gì, đề bài thì mới mạnh hơn :v