Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để ý: \(ab+bc+ca=\frac{\left[\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}{2}\).
Do đó đặt \(a^2+b^2+c^2=x>0;a+b+c=y>0\). Bài toán được viết lại thành:
Cho \(y^2+5x=24\), tìm max:
\(P=\frac{x}{y}+\frac{y^2-x}{2}=\frac{5x}{5y}+\frac{y^2-x}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{y^2-\frac{24-y^2}{5}}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{3\left(y^2-4\right)}{5}\)\(=\frac{3y^3-y^2-12y+24}{5y}\)
Đặt \(y=t\). Dễ thấy \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)=3t^2-5\left(ab+bc+ca\right)\)
Và dễ dàng chứng minh \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra \(3t^2=12+5\left(ab+bc+ca\right)\le27\Rightarrow t\le3\). Mặt khác do a, b, c>0 do đó \(0< t\le3\).
Ta cần tìm Max P với \(P=\frac{3t^3-t^2-12t+24}{5t}\)và \(0< t\le3\)
Ta thấy khi t tăng thì P tăng. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi t lớn nhất.
Khi đó P = 3. Vậy...
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)
\(=ac+bc+c^2+ab\)
\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)
\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)
CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy /...
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Ta có \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}=\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Chứng minh tương tự, rồi cộng lại, ta có
A\(\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
^_^
Chỉ tìm được khi a;b;c dương, còn ko có điều kiện dương thì chịu thua :(
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\text{≥}a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\text{≥}b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{c+a}\text{≥}c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2)(;(3) lại ta được :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\text{≥}a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ac}}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\text{≥}\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ac}}{2}\right)\)
Lại lại có : \(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (tự chứng minh)
\(\Rightarrow a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\text{≥}0\)
Nên \(A\text{≥}\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\frac{1}{2}\)có GTNN là 1/2
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
.-.
Dễ dàng chứng minh được \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]\\ab=\frac{1}{4}\left[\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right]\end{cases}}\)
Khi đó : \(a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]+\frac{1}{4}\left[\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\)
\(=\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)( vì \(\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\))
Ta có : \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+b\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(b+c\right)}\\\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+c^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+c\right)}\end{cases}}\)
Công theo vế của 3 bđt ta được :
\(A\le\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot2\cdot\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Đến đây ta chỉ cần tìm max \(B=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schawarz dạng engel : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2\cdot3}=\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên bđt trên đã bị ngược dấu :( mọi người giúp mình với ạ
Ta có a2+ab+b2=(a+b)2-ab\(\ge\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(3-c\right)^2}{4}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\le\frac{2}{3-c}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le\frac{2}{3-a}\)
\(\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}\le\frac{2}{3-b}\)
=> \(A\le2\left(\frac{1}{3-a}+\frac{1}{3-b}+\frac{1}{3-c}\right)\)
Đến đây chứng minh <1 là xong
Dấu :"=" xảy ra khi a=b=c=1
@Trần Thùy Linh xét dấu bằng sai à bạn ?
Dấu bằng khi \(a=b=c=1\)khi đó \(A\le\sqrt{3}\)
Chứng minh như bạn thì \(A\le2\)??
Bạn ơi dấu "=" xảy ra khi nào
@Trần Thùy Linh dấu bằng đúng nhưng kết quả max bị sai, đúng chưa ?
bn oi a,b,c co duong k
Bài này sos thì dễ nhưng quy đồng mệt lắm ạ! :(( Em thử cách này xem sao:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được: \(A^2\le\left(1+1+1\right)\left(\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\right)\)
Cần chứng minh: \(B=\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\le1\)
Dễ chứng minh: \(a^2+ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
Tương tự với hai BĐT còn lại thay vào suy ra:\(B\le\frac{4}{3}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)\)
Bây giờ ta đi chứng minh: \(C=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2-1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{\left(c+a\right)^2-1}{\left(c+a\right)^2}\ge3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\)
Đặt \(\left(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì x + y + z = 6. Cần chứng minh
\(\frac{x^2-1}{x^2}+\frac{y^2-1}{y^2}+\frac{z^2-1}{z^2}\ge\frac{9}{4}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{x^2-1}{x^2}-\frac{3}{4}\right)\ge0\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{x^2-4}{4x^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{4x^2}\) \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{4x^2}-\frac{1}{4}\left(x-2\right)\right)\ge0\)(chỗ này em làm tắt tí)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{-\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}{4x^2}\ge0\)?!? Em làm cũng ngược dấu nốt :(
tth : dài ghê á. đọc hại não
Ta có : \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{c^2+ac+a^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ac+a^2}}\)
\(\le\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+c\right)}=\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\)
nào
SKT_NTT dấu bằng khi nào ?
có làm ra rồi nhưng ngươc dấu phút cuối : T_T .
Max = \(\sqrt{3}\)thì phải
Đề bài sai, ko có gì để giải hay bàn luận hết.
Đây là đề do bạn tự sáng tác ra chứ chẳng phải đề thi chuyên nào hết, đề thi chuyên Hải Dương năm nay hoàn toàn khác.
Không hề tồn tại max của biểu thức này, hãy thử cho \(a=b=0.00000001\) và \(c=3-a-b\) và dùng casio để thử bạn sẽ thấy vấn đề.
Sau khi tự "chế" ra 1 đề bài nào đó, bạn nên kiểm tra 1 vài giá trị bằng casio để kiểm tra tính đúng sai của đề trước khi tìm cách chứng minh nó.
Đây là câu BĐT đề chuyên Hải Dương năm nay:
Cho a; b; c là các số thực không âm thỏa \(a+b+c=3\), tìm GTLN:
\(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Ta có:
\(A=\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}\)
\(< \frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\)
Tới đây ta nhận thấy rằng với a, b càng bé thì \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\)càng bé lúc đó \(\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\) càng lớn
Mà a, b > 0 nên không có giá trị nhỏ nhất \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\) nên bài không có giá trị lớn nhất.
@Nguyễn Linh Chi
Câu cuối đề THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương năm 2019 :
Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=2019\). Tìm GTNN :
\(A=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)+ab}+\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)+bc}+\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)+ac}\)
Câu này thực chất áp dụng đánh giá ban đầu trong bài làm của em là sẽ làm ra ngay
Còn câu hỏi ở trên là một câu hỏi áp dụng mà một thầy ( thầy cũng dạy luôn ở trường Nguyễn Trãi ) ra đề và nói rằng câu này sẽ hợp lí hơn để làm câu cuối đề thi chuyên. Em không chắc rằng đã chép đúng đề hay thầy cho sai đề, và từ ngữ của em cũng có đôi chút sai lệch. Em xin lỗi đã làm phiền mọi người. Chân thành cảm ơn cô !