Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cm \(3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\ge abc\left(a+b+c\right)^3\)
Do 2 vế BĐT đồng bậc nên ta chuẩn hóa \(a+b+c=3\)
BĐT <=> \(3\left[abc\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\right)+a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\right]\ge27abc\)
<=>\(3\left[abc\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2\right)\right]\ge27abc\)
Áp dụng BĐT Schur ta có:
\(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2\ge ab^2c\left(ab+bc\right)+a^2bc\left(ab+ac\right)+abc^2\left(ac+bc\right)\)
Khi đó BĐT
<=>\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+3a^2\left(b+c\right)+3b^2\left(a+c\right)+3c^2\left(a+b\right)\ge27\)
<=> \(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+3a^2\left(3-a\right)+3b^2\left(3-b\right)+3c^2\left(3-c\right)\ge27\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge3\) luôn đúng do \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)( ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Bài 2
Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
=> \(VT\ge\frac{|a+1-b|+|b+1-c|+|c+1-a|}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT \(|x|+|y|+|z|\ge|x+y+z|\)
=> \(VT\ge\frac{|a+1-b+b+1-c+c+1-a|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
a)\(\frac{\sqrt[2]{X}+2}{\sqrt{x}-3}\)< 1 <=> \(\frac{\sqrt[2]{X}+2}{\sqrt{x}-3}\)- 1 < 0 <=> \(\frac{\sqrt{X}+2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)< 0 <=> \(\frac{5}{\sqrt{x}-3}\)< 0 Mà 5 > 0
=> \(\sqrt{x}-3< 0\)<=> \(\sqrt{X}< 3\)<=> \(x< 9\)
Câu b làm tương tự nha
b, \(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\le2\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-2\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}\le0\Leftrightarrow\frac{-\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}-3}\le0\)
TH1 : \(\hept{\begin{cases}8-\sqrt{x}\le0\\\sqrt{x}-3\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\sqrt{x}\le-8\\\sqrt{x}\ge3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\ge8\\\sqrt{x}\ge3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge64\\x\ge9\end{cases}\Leftrightarrow}x\ge64}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}8-\sqrt{x}\ge0\\\sqrt{x}-3\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le8\\\sqrt{x}\le3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le64\\x\le9\end{cases}}\Leftrightarrow x\le9}\)
Kết hợp với đk : \(0\le x< 9\)
Bài 2 xét x=0 => A =0
xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)
để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)
=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?
1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)
\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)
\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
=> M=0
Vậy M=0
\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác do \(a^2+b^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le1\\b^2\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b\ge a^2+b^2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)
bạn tham khảo : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/477209.html
lú rùi vậy cũng sai :(
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{c}{b}.\dfrac{a-c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a}.\dfrac{b-c}{b}}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT\le\dfrac{\dfrac{c}{b}+\dfrac{a-c}{a}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b}}{2}=1\)
Với dữ kiện đề bài \(a+b+c+2=abc\) ta đặt:
\(a=\frac{y+z}{x};b=\frac{x+z}{y};c=\frac{x+y}{z}\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3}{2}\)
=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
BĐT<=> \(\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}+\sqrt{\frac{b^2-1}{b^2}}+\sqrt{\frac{c^2-1}{c^2}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
<=> \(\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Áp dụng BĐT buniacoxki cho VT ta có :
\(VT\le\sqrt{3.\left(3-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}\right)}\le\sqrt{3\left(3-\frac{3}{4}\right)}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Khó quáaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
không hiểu cái gì mình ngu quá
kho qua
szẹth
khó vậy mình học lớp 4 mà
csdcscsdcscdfvfgfgnmnggnbnnbnvnvnbnbjnjdnvjsdnjkdsnbkjfnsjknbjsnjnbjknkgbskjj
Theo bài ra ta có
\(a,b,c\ge1;a+b+c+2=abc\)
áp dụng BĐT cô si có
\(abc=a+b+c+2\ge4.\sqrt[4]{a.b.c.2}\)
\(=>\left(abc\right)^4\ge4^4.\left(abc.2\right)\)
\(=>\left(abc\right)^3\ge4^4.2=8^3\)
\(=>abc=8\)
Xét đpcm
\(bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc\sqrt{a^2-1}}{abc}+\frac{ca\sqrt{b^2-1}}{abc}+\frac{ab\sqrt{c^2-1}}{abc}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(#\right)\)
xét vt (#) có :
\(\left(\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\frac{a^2-1}{a^2}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c^2}\right)\)
\(=3\left[3-\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]\)
bây h bạn cần CM \(\le\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{27}{4}\)
mà
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=1-\frac{2}{abc}\)
do a,b,c lớn hơn hoặc bằng 8
\(=>\frac{2}{abc}\le\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=>1-\frac{2}{abc}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
hay
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{3}{4}\Rightarrow3-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le\frac{9}{4}\)
zậy
\(\left(\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\right)^2\le3\left[3-\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]=\frac{3.9}{4}=\frac{27}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
hay \(bc\sqrt{a^2+1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(dpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c=2
bài này dành cho những bạn đi thi hsg nha , ai đc ôn luyện đề này chắc mệt lắm , 2 mắt đen thui như Panda , Trải qua r nên hiểu lắm
Bài này khó quá á á á á á á á á á..................!
Bài này khó quá đi i i i i i i i i i i i i i i i
0,8 % =?
bài này khó quá à
upin and ipin who is the "anh trai", who is the "em trai" ???? i can't "phan biet" they, very hard
Bằng 2
dễ vãi
khó quá mình nghĩ kho ra với lại mình học lớp 5 mà hi hi
khó vcl
why not me đúng r đó
câu này bị sai