Câu hỏi của Lê Nhật Khôi

Question

Cho a,b,c,d là các số nguyên tố riêng biệt sao cho $a^2+b^2=c^2+d^2$

Tìm GTNN của $a+b+c+d$

Trần Đại Nghĩa · Accepted Answer

Mk chỉ tìm thấy trường hợp thỏa mãn này mà có $a,b,c,d< 100$

$53^2+83^2=17^2+97^2$ (GTNN của $a+b+c+d$ là $53+83+17+97=250$)

$23^2+71^2=43^2+61^2$ (GTNN của $a+b+c+d$ là $23+71+43+61=198$)

$\Rightarrow GTNN$ của $a+b+c+d=198$

Mk sẽ cố gắng tìm thêm và tìm ra cách giải vì cả kq và cách giải mk đều ko chắc. Bạn có đáp án ko?

Câu trả lời:

Mk chỉ tìm thấy trường hợp thỏa mãn này mà có $a,b,c,d< 100$

$53^2+83^2=17^2+97^2$ (GTNN của $a+b+c+d$ là $53+83+17+97=250$)

$23^2+71^2=43^2+61^2$ (GTNN của $a+b+c+d$ là $23+71+43+61=198$)

$\Rightarrow GTNN$ của $a+b+c+d=198$

Mk sẽ cố gắng tìm thêm và tìm ra cách giải vì cả kq và cách giải mk đều ko chắc. Bạn có đáp án ko?

Lê Nhật Khôi · Answer

Mình lạc mất đáp án rùi :(((

Câu trả lời:

Mình lạc mất đáp án rùi :(((

Trần Đại Nghĩa · Answer

$TH1:a=2$

$\Rightarrow a^2$ là số chẵn mà $a,b,c,d$ là các số nguyên tố riêng biệt$\Rightarrow$$b,c,d$ là số lẻ (do trong bảng số nguyên tố chỉ có số 2 là số chẵn)$\Rightarrow b^2,c^2,d^2$ là số lẻ$\Rightarrow c^2+d^2$ là số chẵn và $a^2+b^2$ là số lẻ$\Rightarrow a^2+b^2\ne c^2+d^2\Rightarrow TH1$ vô lí$\Rightarrow a,b,.c,d\ne2$ vì trường hợp trên có thể áp dụng cho $b,c,d$

$TH2:a=5$

$\Rightarrow a^2$ có chữ số tận cùng là $5$

Trong bảng số nguyên tố tất cả các số đều có chữ số tận cùng là $1,3,5,7$ ngoại trừ số $2$ và $5$ chữ số tận cùng của $b^2,c^2,d^2$ là $1$ hoặc $9$

$\Rightarrow a^2+b^2$ có chữ số tận cùng là 6 hoặc 4

$\Rightarrow c^2+d^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 0 hoặc 8

$\Rightarrow a^2+b^2\ne c^2+d^2\Rightarrow TH2$ vô lí $\Rightarrow a,b,c,d\ne5$ vì trường hợp trên có thể áp dụng cho $b,c,d$

$TH3:a,b,c,d$ là bất kỳ số nguyên tố nào mà không phải 2 hoặc 5

Vì trong bảng số nguyên tố tất cả các số đều có chữ số tận cùng là $1,3,5,7$ ngoại trừ số $2$ và $5$ chữ số tận cùng của $b^2,c^2,d^2$ là $1$ hoặc $9$$\Rightarrow$Các trường hợp dưới đây có thể thỏa mãn đề bài (áp dụng phép tìm chữ số tận cùng):

$\overline{N1}^2+\overline{N3}^2=\overline{N1}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N9}^2+\overline{N3}^2=\overline{N9}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N7}^2=\overline{N1}^2+\overline{N7}^2$

$\overline{N9}^2+\overline{N7}^2=\overline{N9}^2+\overline{N7}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N9}^2=\overline{N1}^2+\overline{N9}^2$

$\overline{N7}^2+\overline{N3}^2=\overline{N7}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N3}^2=\overline{N9}^2+\overline{N7}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N3}^2=\overline{N9}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N7}^2=\overline{N7}^2+\overline{N9}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N7}^2=\overline{N9}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N1}^2=\overline{N1}^2+\overline{N1}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N1}^2=\overline{N1}^2+\overline{N9}^2$

$\overline{N1}^2+\overline{N1}^2=\overline{N9}^2+\overline{N9}^2$

$\overline{N3}^2+\overline{N3}^2=\overline{N3}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N3}^2+\overline{N3}^2=\overline{N7}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N3}^2+\overline{N3}^2=\overline{N7}^2+\overline{N7}^2$

$\overline{N7}^2+\overline{N7}^2=\overline{N7}^2+\overline{N7}^2$

$\overline{N7}^2+\overline{N7}^2=\overline{N7}^2+\overline{N3}^2$

$\overline{N9}^2+\overline{N9}^2=\overline{N1}^2+\overline{N9}^2$

$\overline{N9}^2+\overline{N9}^2=\overline{N9}^2+\overline{N9}^2$

Tới đây mk phải tính thủ công vì ko tìm ra cách giải nữa

Trường hợp có $a+b+c+d$ có $GTNN$ là $11^2+17^2=7^2+19^2$

$\Rightarrow GTNN$ của $a+b+c+d=11+17+7+19=54$