Từ gt =>

\(\frac{1}{1+a}\ge\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)+\left(1-\frac{1}{1+d}\right)\)= \(\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\)\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)

( Theo Cô-si )

Vậy :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{1+a}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\ge0\\\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{cda}{\left(1+c\right)\left(1+d\right)\left(1+a\right)}}\ge0\\\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{dca}{\left(1+d\right)\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\ge0\\\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\ge0\end{matrix}\right.\)

=> \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\frac{abcd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Từ \(abc=1\) VÀ \(a,b,c>0\) áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a+b+c\ge3;a^2+b^2+c^2\ge3\)

Ta có: \(VT=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

\(=\frac{a^4}{\left(1+ab\right)\left(1+ac\right)}+\frac{b^4}{\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)}+\frac{c^4}{\left(1+ca\right)\left(1+cb\right)}\)

\(=\frac{a^4}{a+ab+ac+1}+\frac{b^4}{b+bc+ba+1}+\frac{c^4}{c+ca+cb+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c+2\left(ab+bc+ca\right)+3}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\left(a+b+c\ge3\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\)( dễ c/m rằng \(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\))

Vậy ta cần c/m \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)

Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\ge3\). Ta có: 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t+3\right)\ge0\forall t\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Hay sử dụng Am-GM ta có: 

\(\frac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3}{4}a\) 

Thiết lập 2 BĐT tương tự r` cộng theo vế

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz ta có: 

      \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\ge\frac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d+e}=\frac{25}{a+b+c+d+e}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = e

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu "=" xảy ra <=> a= b = c = 1/3

(bđt Svacxo lên mạng tra nha)

Áp dụng BĐT Cô - Si với ba số dương a , b , c , ta có

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Áp dụng BĐT Cô - Si với ba số dương \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\), ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân hai vế của Bất đẳng thức, ta được:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Dấu = sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a=b=c\end{cases}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)

Bài 3:

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)

\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)

Theo BĐT AM-GM:

\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)

Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài 1: Thiếu đề.

Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)

Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y

Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)

Vậy ta suy ra đpcm

b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b

Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

.Tương tự:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)

Vậy ta có đpcm

6) Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)

\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)

Suy ra đpcm