$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$\boxed{P_{\min}=3\sqrt3}$

$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$\boxed{P_{\min}=3\sqrt3}$

$a^2+b^2+c^2=3$

$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Đặt $s=a+b+c$.

Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$

Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow s\ge\sqrt3$

Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

$\Rightarrow s\le3$

Do đó $\sqrt3\le s\le3$

Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại

$s=\sqrt3$

Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$

Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$

$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).

$P_{\min}=3\sqrt3$

Đầu tiên ta chứng minh bổ đề. 

Ta có

\(6=3.\frac{a^2}{3}+2.\frac{b^2}{2}+c^2\)

\(\ge6.\sqrt[6]{\left(\frac{a^2}{3}\right)^3.\left(\frac{b^2}{2}\right)^2.c^2}=6.\sqrt[6]{\frac{a^6b^4c^2}{3^3.2^2}}\)

\(\Rightarrow a^6b^4c^2\le3^3.2^2\)

Ta lại có:

\(P=3.\frac{a}{3bc}+4.\frac{b}{2ca}+5.\frac{c}{ab}\)

\(\ge12.\sqrt[12]{\left(\frac{a}{3bc}\right)^3.\left(\frac{b}{2ca}\right)^4.\left(\frac{c}{ab}\right)^5}\)

\(=\frac{12}{\sqrt[12]{3^3.2^4}.\sqrt[12]{a^6b^4c^2}}\)

\(\ge\frac{12}{\sqrt[12]{3^3.2^4}.\sqrt[12]{3^3.2^2}}=2\sqrt{6}\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=\sqrt{2}\\c=1\end{cases}}\)

\(2a\)\(:\)\(x+y=2\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

\(\Rightarrow4-2xy\)nhỏ nhất 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất 

Mà x + y = 2 \(\Rightarrow\)x , y không thể là 2 số âm

vì ta cần xy lớn nhất nên x , y không thể khác dấu

\(\Rightarrow\)ta chỉ còn trường hợp x , y đều dương và x + y = 2 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất khi và chỉ khi x = 2 ; y= 0 và x = 0 ; y = 2

không chắc nữa

bình phương lên sau đó chuyển vế là đc