Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 dùng sos:)) Nhưng em không chắc đâu, chỗ dùng mấy cái kí hiệu tổng ý, nó rất rối, nhưng em lại lười viết ra:)
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-1+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc}-27\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\Sigma\frac{a+b+7c}{2}\left(a-b\right)^2}{abc}-\frac{\Sigma\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\left(\frac{a+b+7c}{abc}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\)
Ta có: \(\frac{a+b+7c}{abc}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+7c\right)-abc}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}.3\sqrt[3]{7abc}-abc}{abc}=\frac{3\sqrt[3]{7}.abc-abc}{abc}>0\).
Từ đó ta có thể suy ra đpcm.
Nãy nhầm vị trí:v Làm lại bài 3:
Từ giả thiết suy ra \(\frac{a}{a+1}=1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}\)
\(=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự hai BĐT còn lại và nhân theo vế sẽ thu được t= abc \(\ge8\) (1)
Mặt khác nhân hai vế của giả thiết với (a+1)(b+1)(c+1) thu được:
\(2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\Sigma a\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c=abc-2\). Từ (1) suy ra cả hai vế đều dương.
Do đó \(\sqrt{a+b+c}=\sqrt{abc-2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3abc\left(a+b+c\right)}=\sqrt{3abc\left(abc-2\right)}\). Mặt khác, theo hệ quả quen thuộc của bđt AM- GM thì \(3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Do đó \(ab+bc+ca\ge\sqrt{3abc\left(abc-2\right)}=\sqrt{3t\left(t-2\right)}\)
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được \(3t\left(t-2\right)\ge12^2\left(\text{với }t\ge8\right)\)
Như vậy ta có đpcm.
P.s: Mong là lần này không bị nhầm
Ta thấy: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{a^2+bc}{\sqrt[3]{\left(a^2b+b^2c\right)\left(bc^2+ca^2\right)\left(c^2a+ab^2\right)}}\)
Ta lại có: \(\sqrt[3]{\left(a^2b+b^2c\right)\left(bc^2+ca^2\right)\left(c^2a+ab^2\right)}\le\frac{\left(a^2b+b^2c\right)+\left(bc^2+ca^2\right)+\left(c^2a+ab^2\right)}{3}=\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}\ge\frac{\Sigma_{cyc}\left(a^2+bc\right)}{\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}\)
Nhận thấy: \(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)=a^3+b^3+c^3+3abc+2\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
Theo Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}\ge\frac{3\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}=\frac{9}{a+b+c}\)
Ta có:\(\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)=b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}=\sqrt{\frac{b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\)
Tương tự\(\Rightarrow\)VT=\(\Sigma\sqrt{\frac{b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\)
Đặt \(x=a\left(b^2+c^2\right)\);\(y=b\left(a^2+c^2\right)\);\(z=c\left(b^2+a^2\right)\)
VT=\(\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{x+z}{y}}\ge3\sqrt[6]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu''='' xra\(\Leftrightarrow\)a=b=c
* Bài này sử dụng cách đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}.\Sigma\left(a-b\right)^2\)
\(27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8\left(a+b+c\right)^3\)
\(=\Sigma\left(-4a-4b-c\right)\left(a-b\right)^2\)
--------------------------------------------------
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{8\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge0\) (tự hiểu:v)
\(\Leftrightarrow\frac{4.\frac{1}{2}\Sigma\left(a-b\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{\Sigma\left(-4a-4b-c\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)^3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-b\right)^2\left(\frac{2}{ab+bc+ca}-\frac{4a+4b+c}{\left(a+b+c\right)^3}\right)\ge0\)
Ta chỉ cần chứng minh \(\frac{2}{ab+bc+ca}-\frac{4a+4b+c}{\left(a+b+c\right)^3}>0\) (rồi tương tự các biểu thức còn lại phía sau:v)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)^3-\left(4a+4b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^3+2a^2b+2a^2c+2ab^2+3abc+5ac^2+2b^3+2b^2c+5bc^2+2c^3}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}>0\) (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)
Như vậy tương tự các biểu thức còn lại phía sau ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
2/9 vui vẻ, tặng quà nhá ^^
Nguyễn Thị Ngọc Thơ Nhưng olm dạo này chán lắm, ctv bên đó dường như chả có trách nhiệm gì cả... chất lượng câu hỏi thì lung tung.. hiếm lắm mới thấy một câu hỏi thực sự hay.
tth Có mày đó nhưng mày rời rồi >> Huhu buồn qus !
Mày ở lại với hoc24 đi !
Nguyễn Văn Đạt tất nhiên:) 200 gp hoặc được 200 gp của môn toán thì tao cũng rất vui và cảm ơn mọi người.
Nguyễn Thị Ngọc Thơ Chị Thơ có giúp đc bạn ấy không ?
Nguyễn Thị Ngọc Thơ chị nói cũng đúng ! Nhưng mà hoc24 mất đi một người hay đi giúp đỡ người khác như này thì cũng hơi phí ! Sao ý ai cũng đúng hết trơn, chả biết phải làm sao !
Thôi hay chị cứ thưởng bạn tth như anh Phương cũng đc >> 50 SP đó ! Rồi để tao tìm cách giúp mày lên GP cho ! Tao tiếc mày lắm,k muốn mày rời !
Tự nhiên mò cách này khá là hay và ez nữa:)) mong là được gp:D
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
(một hằng đẳng thức rất quý giá đấy)
\(=\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Do đó \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Từ đó:
\(LHS\left(VT\right)\ge\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27.\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)
\(=\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\ge\frac{\frac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{\frac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}.\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}}=16=RHS\left(VP\right)\)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Cách khác (trâu bò hơn nhiều:P)
\(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}-16\equiv\frac{F\left(a;b;c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3}\)
\(F\left(a;b;c\right)=F\left(x+c;y+c;c\right)\)
\(=162c^3 (x^2-xy+y^2)+3c^2(x+y)(52x^2 -49xy+52y^2)+c(56x^4 + 44x^3 y+30x^2 y^2 +44xy^3+56y^4 ) +(x+y)(8x^4 +11x^2 y^2 +8y^4) \geq 0\)(hiển nhiên đúng với \(c=min\left\{a,b,c\right\}\))
sao tự tick đc vại .-.
Trần Thanh Phương because I'm dank
Nguyễn Thị Ngọc Thơ Woww ! Chị Thơ thân thiện ghê á !
Mong chị sẽ tặng bạn ấy nhiều quà hơn để bạn ấy quay trở lại wed này ! Bạn ấy bảo hết hôm nay sẽ không lên wed này nữa, vf bất công với bạn ấy quá nhiều, trả lời mà chả ai tick >> Nên mong chị sẽ là động lực cho bạn ấy, bận áy có tài năng, học rất giỏi mà ..... Nếu k có bạn ấy trên web này thì quả là đáng buồn .
tth Cu này sướng nhá ! Cố lên nha ! Đừng rời hoc24 >> Không có mày tao buồn lắm !!
Nguyễn Văn Đạt tao chỉ muốn cố cho lên 200 gp trước khi hết ngày mai thôi...
Nguyễn Thị Ngọc Thơ thanks chị ạ
Đi à, sang olm với chị hong ^^
tth Nếu lên đến 200 GP thì mày quay trở lại hoc24 nhá ! Nguyễn Thị Ngọc Thơ em sang với >>
tth ờ có nghĩa là mày sẽ hoạt động tích cực và bình thường trên web hoc24 nhá ! Để tao kêu gọi cộng đồng CTV >>
Tao k muốn mày rời đâu à, tại mày là người giải hẳn hoi nhất á, mày tận tình, còn mấy bạn kia toàn giải mấy bài dễ ệc >>
Nguyễn Văn Đạt:v
Thiếu khoảng 30 gp nữa là đủ 200 gp môn toán,13 gp nữa là đủ tổng 200 gp
Nguyễn Thị Ngọc Thơ: bên olm thì đây là níc em: tth_new - Trang của tth_new
tth trc hết thì 200 GP đã >> rồi tính 200 GP toán sau >> Đã đến lúc tuyển CTV đâu mà ! Cố lên ! Tao tin mày làm đc ! Tao sẽ dõi theo ủng hộ mày !Nguyễn Thị Ngọc Thơ Chị Thơ cùng em giúp bạn ấy đc k >
Nguyễn Văn Đạt tao sẽ cố gắng nán lại hoc24 cho đến hết tuần này... nếu được thì tao ở lại luôn.
tth kê kê ! Thế chứ ! Mà tao hỏi mày sang cái wed là comunicity đấy ý , hay không mà mày có ý định rời web này vậy ? với lại web đấy k có kb nhắn tin à !
Nguyễn Văn Đạt nếu được thì sẽ dùng cả 2 web. tất nhiên là web ấy tin nhắn chứ? nhưng toán của nó hay hơn bên này
Cái này nói toẹt ra sẽ bị mấy bạn rảnh chả có gì làm nên cà khịa bảo là gian lận đấy -.- (bí mật suỵt~ )
Hộp thư chị bị hỏng, k gửi tin được đou -,-
tth nhưng toán bên ấy toàn toán thi quốc tế à ! Tao đọc k hiểu gì hết, tại ta ngu toán, phải họ từ cơ bản !
tth mày trả lời đc gì bên web mới chưa ?
vâng ạ
Nguyễn Văn Đạt tất nhiên là có trả lời, nhưng so với họ tao ngu toán lắm.
Posts by SBM
tth nhưng mà nói thật tao k hiểu gì luôn mày ạ ! Mày cũng giải đc là tao phục mày sát đất ! Nguyễn Thị Ngọc Thơ chị thử vào xem cái Posts by SBM này xem chị có hiểu không > Chị giỏi Tiếng ANh mà .
tthNguyễn Thị Ngọc Thơ Đâu rồi sao im thế !!