K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TA
0
6 tháng 1 2015
Do 1≥ a,b,c≥0 ta co:
\((1-a^2)(1-b)+(1-b^2)(1-c)+(1-c^2)(1-a) ≥ 0\)
<=> \(3+a^2b+b^2c+c^2a ≥ a^2+b^2+c^2+a+b+c\)(1)
Lai co: \(a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)+a(1-a^2)+b(1-b^2)+c(1-c^2) ≥ 0\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+a+b+c ≥ 2(a^3+b^3+c^3)\)(2)
Tu (1) va (2) suy ra \(3+a^2b+b^2c+c^2a ≥ 2(a^3+b^3+c^3)\)
VN
0
VN
0
VN
0
23 tháng 10 2017
Ta có:
\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1+a^2b>a^2+b>a^3+b^3\left(1\right)\)
(Vì \(0< a,b< 1\))
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}1+b^2c>b^3+c^3\left(2\right)\\a+c^2a>c^3+a^3\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)
Áp dụng BĐT Bu - nhi- a ta có:
+) \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
+) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\le\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le a^3+b^3+c^3\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrow\) Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\a=b=c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)