Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*
Biến đổi thành
4(a3+b3)-(a+b)3+4(a3+b3)-(b+c)3+4(c3+a3)-(c+a)3 >=0
xét 4(a3+b3)-(a+b)3 =(a+b)[4(a2-ab+b2)-(a+b)2]
=3(a+b)(a-b)2 >=0
tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)
=> đpcm
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Câu a : Ta có : \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\) ( đpcm )
Câu b : \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)
Câu c : Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( đúng )
Tách VP ra
đặt biến phụ như sau:
x=a+b-c
y=a-b+c
z=b+c-a
=> x+y=(a+b-c)+(a-b+c)=2a
=> \(a=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)
y+z=(a-b+c)+(b+c-a)=2c
=>\(c=\frac{\left(y+z\right)}{2}\)
z+x=(b+c-a)+(a+b-c)=2b
=> \(b=\frac{\left(z+x\right)}{2}\)
thay vào phương trình ban đầu
=> \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^3+\left(\frac{z+x}{2}\right)^3+\left(\frac{y+z}{2}\right)^3=x^3+y^3+z^3\)
nhân đều cả hai vế với 8 để khử VT
=> \(\left(x+y\right)^3+\left(z+x\right)^3+\left(y+z\right)^3=8\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
=\(\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3+3z^2x+3zx^2+x^3+y^3+3y^2z+3yz^2+z^2\right)=8\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
=\(\left(2x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2\right)=8\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(3\left(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2\right)=6\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
chia cả hai vế cho 3
=> \(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2=2\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
=> \(2x^3+2y^3+2z^3-\left(x^2y+xy^2+z^2x+zx^2+y^2z+yz^2\right)=0\)
\(\left(x^3-x^2y-xy^2+y^3\right)+\left(y^3-y^2z-yz^2+z^3\right)+\left(z^3-z^2x-zx^2+x^3\right)=0\)
=> \(\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)+\left(y-z\right)\left(y^2-z^2\right)+\left(z-x\right)\left(z-x\right)^2\)
=> \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)+\left(y-z\right)^2\left(y+z\right)+\left(z-x\right)^2\left(z+x\right)=0\)
thay ngược lại các giá trị và
x-y=(a+b-c)-(a-b+c)=2b-2c=2(b-c)
làm tương tự ta có:
y-z=2(a-b)
z-x=2(c-a)
thay vòa phương trình vừa suy ra trước đó:
\(2\left(b-c\right)^2\cdot2a+2\left(a-b\right)^2\cdot2c+2\left(c-a\right)^2\cdot2b=0\)
\(8a\left(b-c\right)^2+8c\left(a-b\right)^2+8b\left(c-a\right)^2=0\)
=> \(a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+b\left(c-a\right)^2=0\)
theo giả thiết a,b,c>0
=> \(a\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(c\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(b\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> b-c=0;a-b=0;c-a=0
=>a=b=c(đpcm)