a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có

Góc BAC = góc BHA = 90độ 

góc B chung

=)tg ABC đồng dạng với tg HBA

=)AB/BH = BC/AB (cặp cạnh tương ứng)

=) AB^2 = BH.BC  (đpcm)

b) có AB^2 = BH.BC (cmt)

mà BH = 4cm , BC = BH + CH =4+9 = 13cm

=) AB^2 = 4+13 = 17

=) AB = \(\sqrt{17}\)cm

xét tg vuông ABC áp dụng định lý Py-ta-go ta có

AB^2 + AC^2 = BC^2

thay số: \(\sqrt{17}^2\)+ AC^2 = 13^2

=) AC =\(2\sqrt{38}\)cm

vậy nhé chứ ý c mik thấy đầu bài sai sai

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\) (2)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔBAH có BE là phân giác

nên \(\frac{BH}{BA}=\frac{EH}{EA}\) (1)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{DC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{EH}{EA}=\frac{AD}{DC}\)

=>\(EH\cdot DC=AE\cdot AD\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\hat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: ΔABC~ΔHBA

=>\(\frac{BA}{BH}=\frac{BC}{BA}\) (1)

=>\(AB^2=BH\cdot BC\)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔBAC~ΔBHA

=>\(\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔBAH có BE là phân giác

nên \(\frac{BA}{BH}=\frac{EA}{EH}\) (2)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{BC}{BA}=\frac{DC}{DA}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{EA}{EH}=\frac{DC}{EA}\)

=>\(AE\cdot AD=EH\cdot DC\)

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:

$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$

$\angle ABH=\angle ABC$

$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$

$\angle HAB=\angle ACH$

$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.

Ta có:

$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.

Suy ra:

$AE=HF,\quad AF=HE$.

Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:

$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.

Mà:

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có:

$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$

$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$

$AB^2=BC^2-AC^2$

$=30^2-12^2$

$=756$

$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.

Theo hệ thức lượng:

$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$

$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$

$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$

$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.

Do $\angle EAF=90^\circ$:

$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$

$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$

$=60,48\text{ cm}^2$.