a) Xét tứ giác AEMF có 

\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)

\(\widehat{AEM}=90^0\)(ME⊥AB)

\(\widehat{AFM}=90^0\)(MF⊥AC)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được: 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=5^2+12^2=169\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{169}=13cm\)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(AM=\dfrac{13}{2}=6.5cm\)

Ta có: AEMF là hình chữ nhật(cmt)

nên AM=EF(Hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF)

mà AM=6,5cm

nên EF=6,5cm

Vậy: EF=6,5cm

c) Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC(gt)

ME//AC(ME//AF, C∈AF)

Do đó: E là trung điểm của AB(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

⇒\(AE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{5}{2}=2.5cm\)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

MF//AB(MF//AE, B∈AE)

Do đó: F là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

⇒\(AF=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12}{2}=6cm\)

Ta có: AEMF là hình chữ nhật(cmt)

nên \(S_{AEMF}=AE\cdot AF=2.5\cdot6=15cm^2\)

a, Vì \(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{EAF}=90^0\) nên AEMF là hcn

b, Vì M là trung điểm BC, MF//AB(⊥AC) nên F là trung điểm AC

Mà F là trung điểm MN nên AMCN là hbh

c, Để AMCN là hcn thì \(\widehat{AMC}=90^0\) hay AM là đường cao tam giác ABC

Mà AM là trung tuyến nên để AMCN là hcn thì ABC vuông cân tại A

Ai giúp mình với nhé!!!

a, Xét tứ giác AEMF có:

góc BAC = 90 độ

góc AEM = 90 độ

góc MFA = 90 độ

Nên AEMF là hình chữ nhật

b, Ta có AEMF là hình chữ nhật nên

MF = AE

MÀ MF = FI

Nên AE = FI

Ta có AE = FI

AE // FI

nên AEFI là hình bình hành

c, bạn c/minh + E là trung điểm của AB qua tam giác ABC có M trung điểm BC;EM//AC

rồi bạn c/minh F là trung điểm AC tương tự như trên (sr mình lười trình bày)

xét tam giác ABC có:

e trung điểm ab

f trung điểm ac

=> ef là đường trung bình tam giác abc

=> EF // BC (1)

Xét tam giác hca vuông h có

hf trung tuyến ứng với cạnh huyền ac

=> hf =1/2 ac = af

Ta có HF = AF ( cmt )

mà  AF = EM

NÊN HF = EM (2)

Từ (1) và (2) suy ra

EHMF là hình thang cân

a: MF⊥AB

AC⊥ AB

Do đó: MF//AC

Ta có: ME⊥AC

AB⊥ AC

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MF//AC

Do đó: F là trung điểm của AB

XétΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét tứ giác AEMF có \(\hat{AEM}=\hat{AFM}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

E là trung điểm chung của AC và MN

=>AMCN là hình bình hành

Hình bình hành AMCN có AC⊥MN

nên AMCN là hình thoi

c: Gọi O là giao điểm của AM và EF

AEMF là hình chữ nhật

=>AM=EF

AEMF là hình chữ nhật

=>AM cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AM và EF

=>\(OA=OM=\frac{AM}{2};OE=OF=\frac{EF}{2}\)

mà AM=EF

nên OA=OM=OE=OF=AM/2=EF/2

ΔAHM vuông tại H

mà HO là đường trung tuyến

nên HO=AM/2=EF/2

Xét ΔHEF có

HO là đường trung tuyến

HO=EF/2

Do đó: ΔHEF vuông tại H

=>\(\hat{EHF}=90^0\)

d: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến

nên HE=AC/2=MF

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>EF là đường trung bình của ΔABC

=>EF//BC

=>EF//MH

Xét tứ giác MHFE có

MH//FE
MF=HE

Do đó: MHFE là hình thang cân

a: \(BC=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)

AM=BC/2=5cm

b: Xét tứ giác AEMF có

góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nen AEMF là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác AMBN có

F là trung điểm chung của AB và MN

MA=MB

Do đó: AMBN là hình thoi

a: Xét tứ giác AEMF có \(\hat{AEM}=\hat{AFM}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b: AEMF là hình chữ nhật

=>AM cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của EF

nên I là trung điểm của AM

=>A,I,M thẳng hàng

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AC^2+AB^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC=BC/2=10/2=5(cm)

ΔMAB cân tại M

mà ME là đường cao

nên E là trung điểm của AB

=>AE=EB=AB/2=6/2=3(cm)

ΔMAC cân tại M

mà MF là đường cao

nên F là trung điểm của AC

=>AF=FC=AC/2=8/2=4(cm)

AEMF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEMF}=AE\cdot AF=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HF là đường trung tuyến

nên HF=AF

mà AF=ME

nên HF=ME

Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của AC

Do đó: FE là đường trung bình

=>FE//BC

hay FE//MH

Xét tứ giác EFMH có FE//MH

nên EFMH là hình thang

mà FH=ME

nên EFMH là hình thang cân

d: Xét tứ giác MNAB có 

MN//AB

MN=AB

Do đó: MNAB là hình bình hành

Suy ra: MA cắt NB tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AEMF là hình chữ nhật

nên MA cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM,BN,FE đồng quy

(Hình bạn tự vẽ nha)

a ,

Tứ giác AEMF có góc A = góc AME = góc AFM = 90 độ nên là hình chữ nhật .

b ,

Xét tam giác vuông ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên AM = MC = MB

Vì N là điểm đối xứng của M qua F nên MN vuông góc với AC và MF=NF .

-> AC là đường trung trực của MN

->MC = NC , AM = AN (áp dụng tính chất của đường trung trực ) mà AM = MC nên MC=NC=AM=AN .

-> Tứ giác MANC là hình thoi.

c ,

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AE = AF (1)

Vì AM=BM và ME vuông góc với AB nên ME là đường trung trực của AB .

-> AE = EB (2)

Vì tứ giác MANC là hình thoi nên AF=FC (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra BE = FC (4)

Từ (1) và (4) suy ra : AE + BE = AF + FC

hay AB = AC

-> Tam giác ABC là tam giác vuông cân .

Vậy để tứ giác AEMF là hình vuông thì tam giác ABC là tam giác vuông cân .