a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)

mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{ADE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ACH}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

nên \(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

Ta có: AI⊥DE

=>\(\hat{AED}+\hat{IAC}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{IAC}=90^0\)

mà \(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)

=>IA=IC

Ta có: AI⊥DE

=>\(\hat{IAB}+\hat{ADE}=90^0\)

=>\(\hat{IAB}+\hat{ACB}=90^0\)

mà \(\hat{IBA}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)

=>IA=IB

mà IA=IC

nên IB=IC

=>I là trung điểm của BC

b: Sửa đề: cắt DH tại K

Xét ΔEAD vuông tại A và ΔHDA vuông tại D có

EA=HD

DA chung

Do đó: ΔEAD=ΔHDA

=>\(\hat{EDA}=\hat{HAD}\)

TA có: AK⊥IA

AI⊥DE

Do đó: DE//AK

=>\(\hat{EDA}=\hat{DAK}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{EDA}=\hat{HAD}\) (cmt)

nên \(\hat{DAK}=\hat{DAH}\)

=>AB là phân giác của góc HAK

c: Sửa đề: \(AD\cdot DB+AE\cdot EC\le AI^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(HD^2+HE^2=HA^2\)

=>\(AH^2=DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

mà AH<=AI

nên \(DA\cdot DB+EA\cdot EC\le AI^2\)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}\)

mà \(\hat{EAH}=\hat{B}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{EDH}=\hat{B}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}\)

mà \(\hat{DAH}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{DEH}=\hat{C}\)

Ta có: \(\hat{EDH}+\hat{MDH}=\hat{MDE}\)

=>\(\hat{MDH}+\hat{B}=90^0\)

mà \(\hat{B}+\hat{MHD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

nên \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)

=>MD=MH

Ta có: \(\hat{MDH}+\hat{MDB}=\hat{HDB}=90^0\)

\(\hat{MHD}+\hat{MBD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

mà \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\) (ΔMDH cân tại M)

nên \(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)

=>MD=MB

mà MD=MH

nên MB=MH

=>M là trung điểm của BH

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NEH}+\hat{DEH}=\hat{NED}=90^0\)

Do đó: \(\hat{NEC}=\hat{DEH}\)

mà \(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\) (ADHE là hình chữ nhật)

và \(\hat{HAB}=\hat{NCE}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

=>NE=NC

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NCE}+\hat{NHE}=90^0\) (ΔCEH vuông tại E)

mà \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

nên \(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)

=>ΔNEH cân tại N

=>NE=NH

mà NE=NC

nên NH=NC

=>N là trung điểm của HC

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Diện tích hình thang DMNE là:

\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+NE\right)\cdot DE=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12BH+\frac12CH\right)\)

\(=\frac14\cdot AH\cdot\left(BH+CH\right)=\frac14\cdot6\cdot\left(4+9\right)=\frac32\cdot13=\frac{39}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi AM cắt DE tại I 

Theo tính chất hình chữ nhật ADHE : \(\widehat{E_1}=\widehat{HAC}=\widehat{MBA};\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=\widehat{AHE}=\widehat{MCA}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{ACM}\Rightarrow\Delta ACM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\)(*)

Do \(\Delta AID\)vuông tại I suy ra 

\(\widehat{DAM}+\widehat{D_1}=90^0\Leftrightarrow\widehat{DAM}+\widehat{DAH}=90^0\left(1\right)\)

\(\widehat{ABM}+\widehat{DAH}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAM}=\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)(**)

Từ (*);(**) suy ra MB=MC hay M là trung điểm BC . Do MF//AC suy ra 

\(\widehat{MFC}=\widehat{ACF}\)

Mà 

\(\widehat{ACF}=\widehat{MCF}\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{MCF}\Rightarrow\Delta MFC\)cân tại M suy ra MC=MF

Mà MB=MC suy ra \(\Delta BFC\) có  FM là trung tuyến \(FM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\)  \(\Delta BFC\)vuông tại F hay  \(BF\perp CF\left(đpcm\right)\)