1) Cho \(\Delta MNP\)(MN<MP), MI là đường phân giác của \(\Delta MNP\)

a. So sánh IN và IP

b. Trên tia đối của tia IM lấy điểm A. SO sánh NA và PA.

2) Cho \(\Delta ABC\)vuông ở A (AB<AC) có AH là đường cao. So sánh AH+BC và AB+AC.

3) CHo \(\Delta ABC\)có góc A=80 độ, góc B=70 độ, AD là đường phân giác của \(\Delta ABC\)

a. CM: CD>AB

b. Vẽ BH vuông góc với AD (H thuộc AD). CMR: CD=2BH

4) CHo \(\Delta ABC\)nhọn, các đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau. Giả sử AB=6cm, AC=8cm. Tính độ dài BC?

5) Cho \(\Delta ABC\)có đường cao AH (H nằm giữa B và C). CMR

a. Nếu \(\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\)thì \(\Delta ABC\)vuông

b. Nếu \(\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\)thì \(\Delta ABC\)vuông

c. Nếu \(\frac{AB}{AH}=\frac{BC}{AC}\)thì \(\Delta ABC\)vuông

d. Nếu \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AC^2}\)thì \(\Delta ABC\)vuông

Đề:

Cho biết abc = 1. Chứng minh rằng:\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\) là hằng số.

Giải:

Thay 1 = abc vào biểu thức trên, ta có:

\(\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+abc}\)

\(=\frac{a}{a\left(b+1+ab\right)}+\frac{b}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{c}{c\left(a+1+ab\right)}\)

\(=\frac{1}{b+1+ab}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{abc}{b+abc+ab}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{abc}{b\left(1+ac+a\right)}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{ac}{1+ac+a}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{ac+1}{c+1+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{ac+1}{c+abc+ac}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{ac+1}{c\left(1+ab+a\right)}+\frac{1}{a+1+ab}\)

\(=\frac{ac+1}{c\left(1+ab+a\right)}+\frac{c}{c\left(a+1+ab\right)}\) \(MTC:c\left(a+1+ab\right)\)

\(=\frac{ac+1+c}{c\left(1+ab+a\right)}\)

\(=\frac{ac+abc+c}{c+abc+ac}\)

\(=1\)

Vậy \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\) là hằng số khi abc = 1 (đpcm)

Trịnh Trân Trân <3

Cho \(\Delta ABC\)Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại M,N

a) Gỉa sử \(\frac{MA}{MB}=\frac{1}{3}\)Tính \(\frac{AN}{NC}=\frac{AN}{AC}\)

b) Gỉa sử \(\frac{MA}{MB}=6\)\(AN-AC=10\)Tính AN,AC

c) Gỉa sử \(\frac{AM}{AB}=\frac{3}{4}\)\(AN+AC=28\)Tính AN, AC

Cho tam giác ABC vuông tại A có\(\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}\); AC=18cm. Vẽ đường phân giác BD của tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm H sao cho \(\frac{AH}{AB}=\frac{1}{3}\), từ B vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng HC tại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F

a. Tính độ dài AD và DC

b. Chứng minh:\(\Delta HAC_-và_-\Delta HEB\)đồng dạng

c.Chứng minh \(AF.AC=\frac{1}{3}AB^2\)

d. Trên tia đối FA  lấy M sao cho FM=2FA. Chứng minh: MB vuông góc với BC