a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6(cm)$.

Vậy $\boxed{AC=6cm}$.

b1) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra:

$\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên: $\boxed{CD\perp AC}$.

b2) Ta có:

$AH\perp BC$ tại $H$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$: $AC^2=CH\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$ $=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\boxed{\triangle ACE \text{ cân tại } C}$.

b3) Từ câu b1:

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD=8cm$.

Từ câu b2:

$CE=AC=6cm$.

Trong tam giác vuông $ACD$:

$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$$=\sqrt{6^2+8^2}=10cm$.

Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AD=2AM$.

Mà $AM=\dfrac{BC}{2}=5cm$ nên: $AD=10cm$.

Suy ra tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có các cạnh $6;8;10$.

Khi đó: $BD=BC+CD=10+8=18cm$ là sai (vì $B,C,D$ không thẳng hàng).

Xét tam giác $BCD$:

$BC=10,\ CD=8,\ BD=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$.

Do đó kết luận $BD=CE$ không đúng với các dữ kiện đã cho.

b4) Trong tam giác $ADE$:

$M$ là trung điểm của $AD$,

$H$ là trung điểm của $AE$.

Suy ra: $MH\parallel DE$.

Mà $M,H$ đều thuộc $BC$ nên: $MH\subset BC$.

Do đó: $DE\parallel BC$.

Lại có: $AE\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{AE\perp ED}$.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6(cm)$.

Vậy $\boxed{AC=6cm}$.

b1) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên: $\boxed{CD\perp AC}$.

b2) Ta có: $AH\perp BC$ tại $H$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC^2=CH\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$$=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\triangle ACE$ cân tại $C$.

b3) Từ câu b1:

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD=8cm$.

Từ câu b2: $CE=AC=6cm$.

Trong tam giác vuông $ACD$:

$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}$$=\sqrt{6^2+8^2}=10cm$.

Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên: $AD=2AM$.

Mà $AM=\dfrac{BC}{2}=5cm$ nên: $AD=10cm$.

Suy ra tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có các cạnh $6;8;10$.

Khi đó: $BD=BC+CD=10+8=18cm$ là sai (vì $B,C,D$ không thẳng hàng).

Xét tam giác $BCD$:

$BC=10,\ CD=8,\ BD=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$.

Do đó kết luận $BD=CE$ không đúng với các dữ kiện đã cho.

b4) Trong tam giác $ADE$:

$M$ là trung điểm của $AD$,

$H$ là trung điểm của $AE$.

Suy ra: $MH\parallel DE$.

Mà $M,H$ đều thuộc $BC$ nên:

$MH\subset BC$.

Do đó: $DE\parallel BC$.

Lại có: $AE\perp BC$.

Suy ra: $\boxed{AE\perp ED}$.

a)  Ap dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

                \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(AC^2=BC^2-AB^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(AC^2=10^2-8^2=36\)

\(\Leftrightarrow\)\(AC=\sqrt{36}=6\)

Vậy....

1)  Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

=> AM = MB = MC = BC/2

=> tgiac MAC cân tại M   => góc MAC = góc MCA

Xét tgiac ABC và tgiac CDA có:

AC: cạnh chung

góc BCA = góc DAC

BC = AD  ( = 3AM)

suy ra: tgiac ABC = tgiac CDA (c.g.c)

=>  góc BAC = góc DCA = 90⁰

hay CD vuông góc với AC

a)Ap dụng định lý py ta go cho∆ABC vuông tại A ta có:

AB^2 + AC^2 = BC^2

8^2.   + AC^2 =10^2

              AC^2 = 36

            AC .     =6 cm

b-1)

Xet∆AMB = ∆DMC ( c-g-c )

=) Góc ABM = góc DCM

Ma ABM và DCM so le trong

Suy ra BA//DC

Lại có BA vuông góc vs AC

Suy ra DC vuông góc với AC

b-2)

Xét ∆ACE có CH vuông góc với AE =) CH là đường cao

                                        Lại có: CH là trung tuyến ( AH=AE)

Suy ra ∆ACE cân tại C

b-3) xét tứ giác ACDB có M là trung điểm của AD

                                            M là trung điểm của BC

Suy ra tứ giác ACDB là hình bình hành

=) BD = AC (1)

Mà ∆ ACE cân tai C =) AC = CE (2)

Từ(1);(2) suy ra BD= CE

b-4)

Xét∆ AMH và∆ EMH có:

AH = HE

Góc AHM = góc EHM (=90°)

Chung MH

Suy ra: ∆AMH =∆EMH (c-g-c)

=) AM = AE

Mà AM = MD

Suy ra AM = AE = MD

Suy ra: ∆AED vuông tại E ( theo trung tuyêt canh huyền)

Đáp án:

 a) Xet tam giac AMB va tam giac DMC co:

AM = DM (gt) 

goc AMB = goc DMC ( vi hai goc doi dinh ) 

CM = BM( vi M la trung diem cua CB) 

=> tam giac AMB = tam giac DMC ( c-g-c ) 

=>goc MAB = goc MCD ( hai goc tuong ung ) 

Ma hai goc nay o vi tri so le trong nen CD //AB

Lai co: goc CAB = 90 do => goc ACB = 90 do

=> CD vuông góc AC(dpcm ) 

  Chúc bạn học tốt !

a)xét tam giác ABM và tam giác DCM có:

BN=CM(GT)

góc BMA=góc CMD(đđ)

AM-DM(GT)

\(\Rightarrow\)tam giác ABM=tam giác DCM(c.g.c)

b)theo câu a: tam giác ABM=tam giác DCM

\(\Rightarrow\)góc BAM= góc MDC(2 góc tương ứng)

mà đây là cặp góc so le trong

\(\Rightarrow\)AB//CD

\(\Rightarrow\)góc BAC= góc ACD=90 độ\(\Rightarrow\)CD \(\perp\)AC

c) xét tam giác AHC và tam giác EHC có:

AH=EH(GT)

góc AHC=góc EHC=90 độ

HC chung

\(\Rightarrow\)tam giác AHC = tam giác EHC(c.g.c)

\(\Rightarrow\)CA=CE(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)tam giác CAE cân tại C

a) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra: $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\boxed{CD\perp AC}$.

b) Ta có: $AH\perp BC$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC^2=HC\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$$=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\boxed{\triangle ACE \text{ cân tại } C}$.

c) Từ câu a):

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD$.

Lại có: $AB=CD$ và $AC=CE$.

Hai tam giác vuông $ABC$ và $DCE$ có:

$\widehat{A}=\widehat{C}=90^\circ$,

$AB=CD$,

$AC=CE$.

Suy ra: $\triangle ABC=\triangle DCE$ (c.g.c vuông).

Do đó: $\boxed{BD=CE}$.

d) Từ câu c): $\triangle ABC=\triangle DCE$.

Suy ra: $DE=BC$ và $DE\parallel BC$.

Mà: $AE\perp BC$.

Do đó: $\boxed{AE\perp ED}$.

a) Ta có:

$MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$MA=MD$ (gt),

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh).

Suy ra: $\triangle AMB=\triangle DMC$ (c.g.c).

Do đó: $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$.

Mà $B,M,C$ thẳng hàng nên:

$AB\parallel CD$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\boxed{CD\perp AC}$.

b) Ta có: $AH\perp BC$ và $HE=HA$ nên $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$AC^2=HC\cdot BC$,

$AH^2=BH\cdot HC$.

Xét tam giác vuông $CHE$:

$CE^2=CH^2+HE^2$$=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$$=AC^2$.

Suy ra: $CE=AC$.

Vậy: $\boxed{\triangle ACE \text{ cân tại } C}$.

c) Từ câu a):

$\triangle AMB=\triangle DMC$

$\Rightarrow AB=CD$.

Lại có: $AB=CD$ và $AC=CE$.

Hai tam giác vuông $ABC$ và $DCE$ có:

$\widehat{A}=\widehat{C}=90^\circ$,

$AB=CD$,

$AC=CE$.

Suy ra: $\triangle ABC=\triangle DCE$ (c.g.c vuông).

Do đó: $\boxed{BD=CE}$.

d) Từ câu c): $\triangle ABC=\triangle DCE$.

Suy ra: $DE=BC$ và $DE\parallel BC$.

Mà: $AE\perp BC$.

Do đó: $\boxed{AE\perp ED}$.