Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi $AC=a,\ AB=b$ nên $BC=a+b$.
a) Chứng minh $CM\cdot CD$ không phụ thuộc vào $M$Vì $M$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BMC}=90^\circ$
Mà $D,C,M$ thẳng hàng và $A,D$ cùng thuộc đường thẳng vuông góc với $AC$ nên:
$\widehat{CAD}=\widehat{BMC}=90^\circ$
Xét hai tam giác $\triangle CAD$ và $\triangle CMB$:
$\widehat{CAD}=\widehat{CMB}=90^\circ$
$\widehat{ACD}=\widehat{MCB}$
$\Rightarrow \triangle CAD\sim\triangle CMB$
Suy ra:
$\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$
$\Rightarrow CM\cdot CD=\dfrac{CB}{CA},CM^2$
Cách này không cho hằng số trực tiếp, nên ta dùng hệ thức lượng.
Từ tam giác vuông $CMB$:
$CM^2=CB\cdot CH$
với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $CB$.
Do đó:
$CM\cdot CD=CB\cdot CA$
Vậy:
$\boxed{CM\cdot CD=CA\cdot CB}$
không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
b) Tứ giác $APND$ là hình gì?Vì $A,M,N$ thẳng hàng và $A,D\perp AC$ nên:
$\widehat{DAN}=90^\circ$
Mặt khác, $N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BNC}=90^\circ$
Do $A,C,B$ thẳng hàng nên:
$\widehat{ANP}=90^\circ$
Vậy:
$\widehat{DAN}=\widehat{ANP}=90^\circ$
Suy ra $A,D,N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$.
Hơn nữa, $AP\parallel DN$ và $AN\parallel DP$, nên $APND$ là hình bình hành có một góc vuông.
Do đó:
$\boxed{APND\text{ là hình chữ nhật}}$.
a:
Gọi O là trung điểm của BC
=>O là tâm đường tròn đường kính BC
Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
=>BM⊥CD tại M
Xét tứ giác DABM có \(\hat{DAB}+\hat{DMB}=90^0+90^0=180^0\)
nên DABM là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔCMB vuông tại M và ΔCAD vuông tại A có
\(\hat{MCB}\) chung
Do đó: ΔCMB~ΔCAD
=>\(\frac{CM}{CA}=\frac{CB}{CD}\)
=>\(CM\cdot CD=CB\cdot CA\)
a: Gọi O là trung điểm của BC
=>O là tâm đường tròn đường kính BC
Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
=>BM⊥DC tại M
Xét tứ giác DABM có \(\hat{DAB}+\hat{DMB}=90^0+90^0=180^0\)
nên DABM là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔCMB vuông tại M và ΔCAD vuông tại A có
\(\hat{MCB}\) chung
Do đó: ΔCMB~ΔCAD
=>\(\frac{CM}{CA}=\frac{CB}{CD}\)
=>\(CM\cdot CD=CA\cdot CB\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M
O o A B C d M P N Q
tg là tam giác nha !
a )
Ta có : gócABM = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB )
Ta có : gócABM + gócAPM = 180o ( 2 góc kề bù )
=> gócAPM = 180o - gócABM = 180o - 90o = 90o
Xét tứ giác ACPM , có :
gócACP = 90o ( gt )
gócAPM = 90o ( cmt )
gócACP + gócAPM = 90o + 90o =180o
Do đó : tứ giác ACPM nội tiếp được đường tròn ( có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o )
=> A , C , P , M cùng thuộc 1 đường tròn .
a: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
Xét tứ giác AKEH có \(\widehat{EHA}+\widehat{EKA}=90^0+90^0=180^0\)
nên AKEH là tứ giác nội tiếp
=>A,K,E,H cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\widehat{KAI}\) là góc nội tiếp chắn cung KI
\(\widehat{KBI}\) là góc nội tiếp chắn cung KI
Do đó: \(\widehat{KAI}=\widehat{KBI}\)
=>\(\widehat{KAE}=\widehat{KBC}\)
c: Xét (O) có
ΔAIB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAIB vuông tại I
Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAIB vuông tại I có
\(\widehat{HAE}\) chung
Do đó: ΔAHE đồng dạng với ΔAIB
=>\(\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AE\cdot AI=AB\cdot AH\)
Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBKA vuông tại K có
góc HBE chung
Do đó: ΔBHE đồng dạng với ΔBKA
=>\(\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BE}{BA}\)
=>\(BH\cdot BA=BE\cdot BK\)
\(AE\cdot AI+BE\cdot BK\)
\(=AH\cdot AB+BH\cdot AB\)
\(=AB^2=4R^2\)
góc ABO+góc ACO=180 độ
=>ABOC nội tiếp
góc A chung
góc NBD=góc AEB
=>ΔABD đồng dạg vơi ΔAEB
=>AB/AE=AD/AB=BD/EB
Chứng minh tương tự, ta được: ΔACD đồng dạng với ΔAEC
=>AC/AE=CD/CE
mà AB=AC
nên AD/AB=AD/AC
=>BD/BE=CD/CE
=>BD*CE=BE*CD
góc M chung
góc MCN=góc MBC
=>ΔMCN đồng dạng với ΔMBC
=>MC/MB=MN/MC
=>MB*MN=MC^2=MA^2
=>MA/MB=MN/MA
=>ΔMAN đồng dạng với ΔMBA
=>góc MAN=góc MBA
=>BC là tiếp tuyến của (K)
=>BC vuông góc CK
tên nghe xa quá nhỉ