a: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiêp

=>góc AFE=góc ACB

mà góc FAE chung

nên ΔAFE đồng dạng với ΔACB

b: Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCH vuông tại D có

góc DAB=góc DCH

=>ΔDAB đồng dạng vơi ΔDCH

=>DA/DC=DB/DH

=>DA*DH=DB*DC

c: Xét ΔHDC vuông tại D và ΔHFA vuông tại F có

góc DHC=góc FHA

=>ΔHDC đồng dạng vơi ΔHFA

=>HD/HF=HC/HA

=>HF*HC=HD*HA

Xet ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC

=>HF*HC=HB*HE=HD*HA

Ad ĐỪNG XÓA 

 Học tiếng anh free vừa học vừa chơi đây 

các bạn vào đây đăng kí nhá :   https://iostudy.net/ref/165698

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB∼ΔAFC(g-g)

b) Ta có: ΔAEB∼ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF∼ΔABC(c-g-c)

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\hat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH~ΔBEC

=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BC\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\hat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCFB

=>\(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)

ΔBFC vuông tại F

mà FM là đường trung tuyến

nên \(FM=\frac{BC}{2}\)

ΔBEC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên \(EM=\frac{BC}{2}\)

\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC\)

\(=BC\left(BD+CD\right)=BC^2=BC\cdot BC=2\cdot MF\cdot2\cdot ME\)

\(=4\cdot MF\cdot ME\)

c: Xét ΔHBC có HD là đường cao

nên \(S_{HBC}=\frac12\cdot HD\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔABC có AD là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HD\cdot BC}{\frac12\cdot AD\cdot BC}=\frac{HD}{AD}\)

Xét ΔHAC có HE là đường cao

nên \(S_{HAC}=\frac12\cdot HE\cdot AC\left(3\right)\)

Xét ΔBAC có BE là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BE\cdot AC\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{HAC}}{S_{BAC}}=\frac{\frac12\cdot HE\cdot AC}{\frac12\cdot BE\cdot AC}=\frac{HE}{EB}\)

Xét ΔHAB có HF là đường cao

nên \(S_{HAB}=\frac12\cdot HF\cdot AB\left(5\right)\)

Xét ΔBAC có CF là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot CF\cdot AB\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{HAB}}{S_{BAC}}=\frac{\frac12\cdot HF\cdot AB}{\frac12\cdot CF\cdot AB}=\frac{HF}{CF}\)

\(\frac{HF}{CF}+\frac{HE}{BE}+\frac{HD}{AD}\)

\(=\frac{S_{HAB}+S_{HAC}+S_{HBC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có $AD \perp BC$ nên $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ vuông tại $D$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AD$: $AD^2 = BD \cdot DC$.

Mặt khác: $AD = AH + HD$.

=> $AD \cdot HD = (AH + HD)\cdot HD$.

Mà trong tam giác vuông: $AH \cdot HD = BD \cdot DC$.

Do đó: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$.

Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:

Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.

Gọi $I = EF \cap AH$.

Từ các cặp tam giác đồng dạng suy ra tỉ số:
$\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.

Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

Vậy: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$ và $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

HÌNH CÁC BẠN TỰ VẼ.