a>1; b>1/2; c>1/3 và \(\frac{1}{a} + \frac{2}{2b + 1} + \frac{3}{3c + 2} \ge 2 \quad (1)\)

Đặt x=a

=>x>1

=>x-1>0

Đặt y=2b+1

=>y>2*1/2+1=1+1=2

=>y-2>0

Đặt z=3c+2

=>z>3

=>z-3>0

P=(a-1)(2b-1)(3c-1)

=(x-1)(y-2)(z-3)

(1) =>\(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} \ge 2 \quad (2)\)

=>\(\frac{1}{x} \ge 2 - \frac{2}{y} - \frac{3}{z} = \left(1 - \frac{2}{y}\right) + \left(1 - \frac{3}{z}\right) = \frac{y - 2}{y} + \frac{z - 3}{z}\)

=>\(\frac{1}{x} \ge \frac{y - 2}{y} + \frac{z - 3}{z} \ge 2\sqrt{\frac{(y - 2)(z - 3)}{yz}} \quad (3)\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\frac{2}{y} \ge \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{3}{z}\right) = \frac{x - 1}{x} + \frac{z - 3}{z} \ge 2\sqrt{\frac{(x - 1)(z - 3)}{xz}} \quad (4)\)

\(\frac{3}{z} \ge \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{2}{y}\right) = \frac{x - 1}{x} + \frac{y - 2}{y} \ge 2\sqrt{\frac{(x - 1)(y - 2)}{xy}} \quad (5)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{y} \cdot \frac{3}{z} \ge 2\sqrt{\frac{(y - 2)(z - 3)}{yz}} \cdot 2\sqrt{\frac{(x - 1)(z - 3)}{xz}} \cdot 2\sqrt{\frac{(x - 1)(y - 2)}{xy}}\)

=>\(\frac{6}{xyz}\ge8\cdot\frac{(x - 1)(y - 2)(z - 3)}{xyz}\)

=>\(6\ge8(x-1)(y-2)(z-3)\)

=>\((x-1)(y-2)(z-3)\le\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

=>P<=3/4

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases} \dfrac{x - 1}{x} = \dfrac{y - 2}{y} = \dfrac{z - 3}{z} \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{3}{z} = 2 \end{cases}\)

Đặt \(\dfrac{x - 1}{x}=\dfrac{y - 2}{y}=\dfrac{z - 3}{z}=k\)

=>\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{z}=1-k\)

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=2\)

=>1-k+1-k+1-k=2

=>3-3k=2

=>3k=1

=>k=1/3

=>\(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}=1-\frac13=\frac23\)

=>x=3/2 và y=3 và z=9/2

=>a=3/2; b=1; c=5/6

\(c^2 + d^2 + 25 = 6c + 8d\)

=>\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\)

=>\(\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\)

=>c=3 và d=4

P=3*3+4*4-(a*3+b*4)=25-(3a+4b)

\((3a + 4b)^2 \le (3^2 + 4^2)(a^2 + b^2)\)

=>\((3a + 4b)^2 \le (9 + 16) \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50\)

=>\(-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)

=>\(P \le 25 - (-5\sqrt{2}) = 25 + 5\sqrt{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases} \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} < 0 \\ a^2 + b^2 = 2 \end{cases}\)

Đặt \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k\) (k<0)

=>a=3k; b=4k

\(a^2+b^2=2\)

=>\(\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=2\)

=>\(25k^2=2\)

=>\(k^2=\frac{2}{25}\)

=>\(k=-\frac{\sqrt2}{5}\)

=>\(a=3k=-\frac{3\sqrt2}{5};b=4k=-\frac{4\sqrt2}{5}\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)

Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)

(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)

Bạn có thể giải thích phần (1) <=> với cái đó được ko. Mình vẫn chưa hiểu mấy bước sau lắm

Đề bài là thế này đúng không bạn:

Cho các số thực không âm x; y thỏa mãn: \(x^2+y^2\le2\)

Tìm GTLN của: \(P=\sqrt{29x+3y}+\sqrt{3x+29y}\)

P/s: bạn nên sử dụng tính năng gõ công thức để người khác dễ đọc hơn (đây là tính năng rất đơn giản, dễ dàng làm quen, nó nằm ở biểu tượng \(\sum\) trên khung soạn thảo)

Tính giá trị lớn nhất