Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT=A+B và xét
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\text{∑}\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\text{∑}\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\text{∑}ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
(Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu = khi a=b=c=1
Ta có: \(\frac{1+3a}{1+b^2}=\left(1+3a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=3a+1-\frac{b}{2}-\frac{3ab}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1+3b}{1+c^2}=3b+1-\frac{c}{2}-\frac{3bc}{2}\)(2); \(\frac{1+3c}{1+a^2}=3c+1-\frac{a}{2}-\frac{3ca}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)\(\ge3\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(\ge\frac{5.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{3.3}{2}+3=\frac{15}{2}-\frac{9}{2}+3=6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Hùng Nguyễn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)ta có:
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Lại có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=9\)
Mặt khác \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ca}\ge3\)\(\Rightarrow P_{Min}=30\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
khó phết
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT = A + b và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\Sigma\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\Sigma\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\Sigma ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)=3}\))
Dấu = khi a = b = c = 1 .
Yuzuri Yukari:copy câu trả lời của tôi
NHỤCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
mình làm rồi đó bạn đây nè Câu hỏi của Hoàng Phúc - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Copy mà cx có động lực để mà đăng câu tll lên hả còn liên xỉ k đấy chắc m` tầm cỡ Lê Nguyên Hạo và Võ Đông Anh Tuấn thôi
nhưng mà mk cảm thấy nếu như bn ý xem câu trả lời của bạn và hiểu được bài đó rồi bn ấy đi giảng lại cho bn khác cx được mà
như vậy thì sẽ nhiều bn bt hơn, vs lại có thể bn ấy cx ko chép của bn mà
1.mày nhìn bài nó với bài tao có khác nhau chỗ nào ko ?dù cùng ý tưởng, tao đâu cần nó trình bày giống tao như vậy
2.mày có bị điên ko vậy ?? đào lại câu hỏi từ 3 năm trước lên rồi nói clgt ? m thấy nó giảng lại chỗ nào ko hay gõ y hệt bài của tao , tao nói cho mày biết là nó muốn kiếm điểm bằng chất xám của tao đó, ko phải vvif tao tiếc vài cái điểm GP mà tao đéo muốn thằng khác lấy chất xám của tao người như mày làm sao hiểu dc
Nguyen THi HUong Giang 1. mày nhìn bài nó với bài tao khác chỗ nào ko? dù cùng ý tưởng, tao đâu cần nó gõ bài giống tao như vậy 2. mày có bị điên ko vậy ?? đào lại câu hỏi từ 3 năm trước lên rồi nói sáng cái gì vậy ? m thấy nó giảng lại bài của tao chỗ nào ko hay là gõ y hệt bài trước của tao. nói luôn cho m tỉnh ngộ là nó định kiếm điểm bằng chất xám của tao đó, ko phải vì tao keo kiệt vì vài cái điểm GP mà tao đéo muốn thằng khác lấy chất xám của tao 1 cách trắng trợn như vậy, nó còn đéo thèm xin phép tao nữa. mấy thằng như mày làm sao hiểu đc
càng đọc càng thấy m là 1 thg tuyệt đỉnh ngu bực cả mình
ha, rảnh hơi đến nỗi không đi học bài chỉ suốt ngày chăm chăm ai chép bài mk rồi kể công
vs lại dù bn ấy có chép của bn đi chăng nữa bn cx ko nên mắng chửi người công khai như vậy chớ
mày mới rảnh ấy, mày có thấy bài này tao đăng từ 3 năm trước rồi không ? bây giờ lôi lại cc làm gì vậy ??
nick olm của bn là thắng nguyễn đúng ko
Lightning Farron: được lắm, 1 like, không lấy nick ctv để chửi nhau a!
Hoàng Tử Hàvẫn là nick này nhưng giờ tôi ko còn là ctv nữa nên ko còn huy hiệu
Hừm, tiếc nhỉ? Sao vậy? ( Why?)