Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=\sqrt{8\left(a^2+ab+2ab+2ac\right)}=2\cdot\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\)
\(\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự\(\hept{\begin{cases}\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c\\\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\end{cases}}\)
=> Q>2
Dấu "=" <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=1,5\end{cases}}\)
ta có \(T=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^2}{2+a^2}+1-\frac{b^2}{2+b^2}+1-\frac{c^2}{2+c^2}\right)=\frac{1}{2}\left[3-\left(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\right)\right]\)
ta chứng minh rằng \(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\ge1\)khi đó ta sẽ có \(T\le1\)
thật vậy, áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz ta có \(\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\)
ta cần chứng minh rằng \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge a^2+b^2+c^2+6\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
thật vậy, từ giả thiết ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca\le abc\left(a+b+c\right)\left(1\right)\)
mà \(abc\left(a+b+c\right)\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)
từ (1) ta có \(\frac{ab+bc+ca}{3}\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\left(đpcm\right)\)
vậy maxT=1 khi a=b=c=1
+)\(\frac{3}{4}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)
+) \(P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(32abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-24abc\)
\(\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}-24abc\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{\frac{1}{8}}}-3=16-3=13\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)
\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)
Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)
a) \(P=1957\)
b) \(S=19.\)
Rất tiếc là chưa :((
Bài này muốn tìm được điểm rơi 1 cách chính xác thì phải sử dụng cực trị có điều kiện của hàm 3 biến, kiểu đạo hàm ở đại học.
Đây là cách tìm điểm rơi duy nhất của bài này mà mình nghĩ ra được:
Dự đoán điểm rơi xảy ra khi \(21ab+2bc+8ac=12\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow2x+8y+21z-12xyz=0\)
Ta cần tìm cực trị của hàm \(f\left(x;y;z\right)=x+2y+3z\) với điều kiện \(2x+8y+21z-12xyz=0\)
Xét hàm Lagrange:
\(F\left(x;y;z;k\right)=x+2y+3z+k\left(2x+8y+21z-12xyz\right)\)
Cực trị xảy ra tại x;y;z thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}F'_x=1+k\left(2-12yz\right)=0\\F'_y=2+k\left(8-12xz\right)=0\\F'_z=3+k\left(21-12xy\right)=0\\F'_k=2x+8y+21z-12xyz=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\frac{1}{12yz-2}\\k=\frac{1}{6xz-4}\\k=\frac{1}{4xy-7}\\\frac{2}{yz}+\frac{8}{zx}+\frac{21}{xy}=12\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12yz-2=6xz-4\\4xy-7=6zx-4\\\frac{2}{yz}+\frac{8}{zx}+\frac{21}{xy}=12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}yz=\frac{3xz-1}{6}\\xy=\frac{6xz+3}{4}\\\frac{2}{yz}+\frac{8}{xz}+\frac{21}{xy}=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{12}{3xz-1}+\frac{8}{xz}+\frac{28}{2xz+1}=12\) (\(xz>\frac{1}{3}\))
\(\Leftrightarrow18\left(xz\right)^3-36\left(xz\right)^2-xz+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(18\left(xz\right)^2-1\right)\left(xz-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xz=\pm\frac{1}{3\sqrt{2}}< \frac{1}{3}\left(l\right)\\xz=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{15}{4}\\yz=\frac{5}{6}\\xz=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=\frac{25}{4}\Rightarrow xyz=\frac{5}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=\frac{5}{4}\\z=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
Biết điểm rơi xong thì xử lý được bài toán ngay
@Nguyễn Việt Lâm Vậy hôm nào đi thi dùng nó ngoài nháp tìm điểm rơi là được chứ nhỉ?
Có dấu hiệu nào để áp dụng cái này không đại ca?
Hệ thống hoc24 bị bệnh à? -.-
Học đạo hàm để tìm cực tiểu chưa bro? Như thế mới đơn giản bài toán.
Còn chưa thì t chịu -.-