Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Giả sử $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\vdots 6.$
Ta cần chứng minh $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\vdots 6.$
Ta có $a^{2018}-a^{2016}=a^{2016}(a^2-1)=a^{2016}(a-1)(a+1).$
Trong ba số nguyên liên tiếp $a-1,\ a,\ a+1$ luôn có một số chia hết cho $3$ và có ít nhất một số chẵn.
Do đó $a(a-1)(a+1)\vdots6.$
Suy ra $a^{2016}(a^2-1)=a^{2015}\cdot a(a-1)(a+1)\vdots6,$ hay $a^{2018}\equiv a^{2016}\pmod6.$
Tương tự, $b^{2019}-b^{2017}=b^{2017}(b^2-1)=b^{2016}\cdot b(b-1)(b+1)\vdots6,$ nên $b^{2019}\equiv b^{2017}\pmod6.$
Lại có $c^{2020}-c^{2018}=c^{2018}(c^2-1)=c^{2017}\cdot c(c-1)(c+1)\vdots6,$
=nên $c^{2020}\equiv c^{2018}\pmod6.$
Cộng ba đồng dư trên,
$a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiva^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\pmod6.$
Theo giả thiết, $a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}\equiv0\pmod6.$
Suy ra $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}\equiv0\pmod6.$
Vậy $a^{2018}+b^{2019}+c^{2020}$ chia hết cho $6.$
2.
$\displaystyleM=\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+c}.$
Ta có $\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}=\frac{x^2+x+3x+1}{x(x+1)}=1+\frac{3x+1}{x(x+1)}.$
Lại có $\displaystyle\frac{3x+1}{x(x+1)}=\frac1x+\frac2{x+1}.`$
Do đó $\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x^2+x}=1+\frac1x+\frac2{x+1}.$
Suy ra $\displaystyleM=3+\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)+2\left(\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\right).$
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$\displaystyle(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge(1+1+1)^2=9.$
Vì $a+b+c\le3,$ nên $\displaystyle\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac9{a+b+c}\ge3.$
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy,
$\displaystyle(a+b+c+3)\left(\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\right)\ge9.$
Do $a+b+c+3\le6,$ suy ra $\displaystyle\frac1{a+1}+\frac1{b+1}+\frac1{c+1}\ge\frac96=\frac32.$
Vậy $\displaystyleM\ge3+3+2\cdot\frac32=9.$
Dấu ``='' xảy ra khi $a=b=c=1,$ vì khi đó $a+b+c=3$ và các bất đẳng thức Cauchy đều đạt dấu bằng.
Vậy $M_{\min}=9.$
giải câu c nha
xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
Ta có:a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
tương tự :b3-b chia hết cho 6 và c3-c chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6
=> a3+b3+c3 -a-b-c chia hết cho 6
mà a3+b3+c3chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6
k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha
a/ n3 - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Ta có: \(a^5-a=a\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮5\)( 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
=> \(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮6\)
( 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 6)
mà 6 .5 = 30 ; ( 6;5) = 1
=> \(a^5-a⋮30\)
=> \(a^{2020}-a^{2016}=a^{2015}\left(a^5-a\right)⋮30\)
=> \(A=\left(a^{2020}-a^{2016}\right)+\left(b^{2020}-b^{2016}\right)+\left(c^{2020}-c^{2016}\right)⋮30\)
\(A=a^{2016}\left(a^4-1\right)+b^{2016}\left(b^4-1\right)+c^{2016}\left(c^4-1\right)\)
Xét: \(a^{2016}\left(a^4-1\right)=a^{2015}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Đặt \(B=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Do \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 6 \(\Rightarrow B⋮6\)
Mặt khác:
\(B=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[a^2-4+5\right]\)
\(=5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Do \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5
\(\Rightarrow B⋮5\Rightarrow B⋮30\) (do 5 và 6 nguyên tố cùng nhau)
Hoàn toàn tương tự ta có \(b^{2016}\left(b^4-1\right)⋮30\) và \(c^{2016}\left(c^4-1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow A⋮30\)
bai nay chi can tach ra thanh mot nhom chia het cho 5 roi suy ra mot nhom chia het cho 5 roi minh phan h a^4-b^4 thanh nhan tu
ta có: \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\) (*)
mà \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
tương tự : \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)
=> (*) chia hếtcho 6
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\) chia hết cho 6
mà theo bài ra ta có: \(a+b+c⋮6\)
nên \(a^3+b^3+c^3⋮6\) => đpcm
ta có a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 6.
do đó a2014 + b2015 + c2016 và a2016 + b2017 + c2018 có cùng số dư khi chia cho 6 hay a2014 + b2015 + c2016 chia hết cho 6 thì a2016 + b2017 + c2018 cũng chia hết cho 6.