Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
Mình sẽ trình bày chi tiết lời giải như khi viết vào vở, rõ ràng từng bước nhé:
Bài toán: Cho \(a , b , c \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P = \frac{1}{a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{b^{2} + \frac{\left(\right. c - a \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{c^{2} + \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{4}} .\)
Lời giải:
Xét hạng tử thứ nhất:
\(a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} = \frac{\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} .\)
Nhận xét rằng:
\(\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} \leq \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = 1^{2} = 1 ,\)
không đúng cho mọi \(a , b , c\). → Ta thử cách khác.
Cách 1: Thử giá trị đặc biệt
- Với \(a = b = c = \frac{1}{3}\):
\(P = \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} = 3 \cdot 9 = 27.\)
- Với \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\):
\(P = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 0 - 1 \left.\right)^{2} / 4} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 1 - 0 \left.\right)^{2} / 4} = 1 + 4 + 4 = 9.\)
Tương tự với \(\left(\right. 0 , 1 , 0 \left.\right)\) hoặc \(\left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\), đều có \(P = 9\).
Cách 2: Biện luận
Do \(a + b + c = 1\), giả sử \(a = 1 , b = c = 0\) thì \(P = 9\).
Nếu ba số dương và bằng nhau, \(P = 27 > 9\).
Dễ thấy khi các số phân bố đều, mẫu số nhỏ → giá trị lớn; còn khi dồn hết vào một biến, mẫu số lớn → giá trị nhỏ.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(P\) đạt tại biên, khi một biến bằng 1, hai biến còn lại bằng 0.
Kết luận:
Pmin=9
dấu bằng xảy ra khi \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\) hoặc hoán vị.
xin cái tickkkk=)
Bài cuối có Max nữa nhé, cần thì ib mình làm cho.
Giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow c\le1< 2\Rightarrow2-c>0\)
Ta có:\(P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc=\frac{ab}{2}\left(2-c\right)+bc+ca\ge0\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=3;b=0;c=0\) và các hoán vị
áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(1=a+b+c+d\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)d}\)
\(\Rightarrow1\ge4\left(a+b+c\right)d\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge4\left(a+b+c\right)^2d\ge16\left(a+b\right)cd\)
\(A=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcd}\ge\frac{16\left(a+b\right)^2cd}{abcd}=\frac{16\left(a+b\right)^2}{ab}\ge64\)
Vậy GTNN của A là 64 khi \(=a=b=\frac{1}{8};c=\frac{1}{4};d=\frac{1}{2}\)
Mình xử lý phần dấu "=" của @Thanh Tùng DZ@
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+b+c+d=1\\a+b+c=d\\a+b=c\end{cases}}\)và a=b
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8a=1\\d=4a\\c=2a\end{cases}}\)và a=b
\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{8};c=\frac{1}{4};d=\frac{1}{2}\)
Trình bày theo hướng khác :3
\(1=\left(a+b+c+d\right)^2=\left[\left(a+b+c\right)+d\right]^2\ge4\left(a+b+c\right)d\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\left(a+b+c\right)d\Rightarrow\frac{a+b+c}{4}\ge\left(a+b+c\right)^2d=\left[\left(a+b\right)+c\right]^2d\ge4\left(a+b\right)cd\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{4abcd}\ge\frac{4\left(a+b\right)^2cd}{abcd}=\frac{4\left(a+b\right)^2}{ab}\ge16\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c+\right)\left(a+b\right)}{abcd}\ge64\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=\frac{1}{8};c=\frac{1}{4};d=\frac{1}{2}\)