Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a2 + b2 + c2 = ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2
<=> a2 + b2 + c2 = a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
<=> a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ( bớt a2 + b2 + c2 ở cả hai vế )
<=> a2 + b2 + c2 - 2( ab + bc + ca ) = 0
<=> a2 + b2 + c2 - 2.9 = 0
<=> a2 + b2 + c2 - 18 = 0
<=> a2 + b2 + c2 = 18
Xét ( a + b + c )2 ta có :
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
= ( a2 + b2 + c2 ) + 2( ab + bc + ca )
= 18 + 2.9
= 18 + 18 = 36
=> ( a + b + c )2 = 36
=> a + b + c = 6 ( do a, b, c là các số dương )
\(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=18\) ( do ab+bc+ca = 9 )
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=18+2.9=36\)
\(\Rightarrow\)\(a+b+c=6\) ( do a,b,c là các số thực dương)
\(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(a^2+b^2+c^2-2.\left(ab+bc+ca\right)=0\)( cùng bớt \(a^2+b^2+c^2\)ở cả 2 vế )
\(a^2+b^2+c^2-2.9=0\)
\(a^2+b^2+c^2=18\)
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(=18+2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=18+2.9\)
\(=18+18\)
\(=36\)
\(\Rightarrow a+b+c=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{36}=6\)
Vậy \(a+b+c=6\)
Tham khảo nhé~
Ta có: \(\begin{cases} ab + bc + ca + 2(a + b + c) = 8045 \quad &(1) \\ abc - a - b - c = -2 \quad &(2) \end{cases}\)
(2) =>a+b+c=abc+2
(1) =>\(ab + bc + ca + 2(abc + 2) = 8045\)
=>\(ab+bc+ca+2abc+4=8045\)
=>ab+bc+ac+2abc=8041(4)
(2)=>\(abc - a - b - c + 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow (a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) - 1\)
=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - (ab + bc + ca) + (abc + 2) - 1\)
=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = 2abc - (ab + bc + ca) + 1 \quad (5)\)
Từ (4),(5) suy ra \((ab + bc + ca + 2abc) + (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 8041 + 2abc - (ab + bc + ca) + 1\)
=>\((a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0\)
=>a,b,c phải có một trong ba số bằng 1
Giả sử a=1
Thay a=1 vào (2), ta được:
\(1\cdot bc-1-b-c=-2\)
=>\(bc-b-c+1=0\)
=>(b-1)(c-1)=0
=>b=1 hoặc c=1
Giả sử b=1
Thay a=1 và b=1 vào (1), ta được:
\(1 \cdot 1 + 1 \cdot c + c \cdot 1 + 2(1 + 1 + c) = 8045\)
=>4c+5=8045
=>4c=8040
=>c=2020
a+b+c
=1+1+2020
=2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
$b^2+c^2\geq 2bc$
$c^2+a^2\geq 2ac$
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=27$
Vậy GTLN của $P$ là $27$
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.64\Rightarrow\left(a+b+c\right)\le8\sqrt{3}\)
Lại có \(\left(ab+bc+ac\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=64\)
Khi đó \(P=ab+bc+ca+a+b+c\le64+8\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+b^2+c^2=64\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)