Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

.Tuy nhiên mik có thể chữa lại đề cho ae dễ đọc nha:

Cho a,b,c>0 và:

\(P=\frac{a^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{b^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{c^3}{c^2}+ac+a^2.\)

\(Q=\frac{b^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{c^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{a^3}{c^2}+ac+a^2.\)

Chứng minh rằng:P=Q.

Ta có:

$P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

$Q=\dfrac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Xét $P-Q$:

$P-Q=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}$

Vì $\dfrac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}=x-y$ nên $P-Q=(a-b)+(b-c)+(c-a)$$=0$

Suy ra: $P=Q$

Ta có:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\frac{\Leftrightarrow a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\) Nhân hai vế với \(\frac{1}{b-c}\)

Tương tự ta có:\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-bc+ba-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right);\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) ta được đpcm

ai giai minh k cho

k nha new dung

Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!

Câu b) 

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được: 

=>   \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

=>   \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

DẤU "=" Xảy ra <=>    \(a=b=c\)

Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!

Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$