Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a; b; c là 3 cạnh của tam giác => |a - c| < b ; |a - b| < c ; |b - c| < a
=> (|a - c|)2 < b2 => a2 - 2ac + c2 < b2 (1)
(|a - b|)2 < c2 => a2 - 2ab + b2 < c2 (2)
(|b - c|)2 < a2 => b2 - 2bc + c2 < a2 (3)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta được: 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
=> a2 + b2 + c2 < ab + bc + ca (đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac
b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc
c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc
Cộng vế với vế ta có:
a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac)
a\(^2\) - 2ab + b\(^2\)
= a\(^2\) - ab - ab + b\(^2\)
= (a\(^2\) - ab) - (ab - b\(^2\))
= a(a -b) - b(a - b)
= (a -b)(a -b)
= (a - b)\(^2\) ≥ 0 ∀ a; b
Suy ra: a\(^2\) - 2ab + b\(^2\) ≥ 0
a\(^2+b^2\) ≥ 2ab
CMTT ta có: b\(^2\) + c\(^2\) ≥ 2bc
\(a^2+c^2\) ≥ 2ac
Cộng vế với vế ta có: 2a\(^2\) + 2b\(^2\) + 2c\(^2\) ≥ 2ab + 2bc + 2ac
Suy ra: a\(^2+b^2+c^2\) ≥ ab + bc + ac (1)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac
b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc
c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc
Cộng vế với vế ta có:
a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (2)
kết hợp (1) và (2) ta có:
ab + bc + ac ≤ a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (đpcm)
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:\(b^2< bc+ab;c^2< ca+cb\)
Cộng lại có đpcm
Giải:
Áp dụng BĐT trong tam giác ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2\left(1\right)\\b+c>a\Rightarrow ab+ac>a^2\left(2\right)\\c+a>b\Rightarrow bc+ab>b^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) theo vế ta có:
\(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
Hay \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) (Đpcm)
a2là góc đó hả