HS tự làm

1: Xét tứ giác MBOA có \(\hat{MBO}+\hat{MAO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MBOA là tứ giác nội tiếp

=>M,O,B,A cùng thuộc một đường tròn

Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có; OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO⊥BC

2: Xét (O) có

\(\hat{NAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AN và dây cung AD
\(\hat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

Do đó: \(\hat{NAD}=\hat{ABD}\)

Xét ΔNAD và ΔNBA co

\(\hat{NAD}=\hat{NBA}\)

góc AND chung

Do đó: ΔNAD~ΔNBA

=>\(\frac{NA}{NB}=\frac{ND}{NA}\)

=>\(NA^2=NB\cdot ND\)

TA có; AM⊥ AO

AO⊥BC

Do đó: AM//BC

Xét (O) có

\(\hat{MBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BD

\(\hat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\hat{MBD}=\hat{BCD}\)

mà \(\hat{BCD}=\hat{NMD}\) (hai góc so le trong, MA//BC)

nên \(\hat{NMD}=\hat{NBM}\)

Xét ΔNMD và ΔNBM có

\(\hat{NMD}=\hat{NBM}\)

góc MND chung

Do đó: ΔNMD~ΔNBM

=>\(\frac{NM}{NB}=\frac{ND}{NM}\)

=>\(NM^2=NB\cdot ND\)

=>\(NM^2=NA^2\)

=>NM=NA

=>N là trung điểm của AM

a: góc AMB=góc ACB=90 độ

=>BM vuông góc DA và AC vuông góc DB

góc DMH+góc DCH=90+90=180 độ

=>DMHC nội tiếp

Xét ΔHMA vuông tại M và ΔHCB vuông tại C có

góc MHA=góc CHB

=>ΔHMA đồng dạng với ΔHCB

=>HM/HC=HA/HB

=>HM*HB=HA*HC

b: góc DBM=góc CBM=1/2*sđ cung CM

góc MBA=1/2*sđ cung MA

mà sđ cung CM=sđ cung MA

nên góc DBM=góc ABM

=>BM là phân giác của góc DBA

Xét ΔBDA có

BM vừa là đường cao, vừa là phân giác

=>ΔBDA cân tại B

d: Xét ΔMAK vuông tại M và ΔMDH vuông tại M có

MA=MD

góc MAK=góc MDH

=>ΔMAK=ΔMDH

=>MK=MH

Xét tứ giác AKDH có

M là trung điểm chung của AD và KH

AD vuông góc KH

=>AKDH là hình thoi

• Ta có   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  .
•  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  .
• Xét tứ giác DMHC (cũng là tứ giác DMCH, nhưng xét theo đề bài là DMHC), có   (góc  ) và   ( ?) - *Lưu ý: M là chính giữa cung AC nên  . Do đó  . Không, M là chính giữa cung AC  .
• Chỉnh sửa a: M là điểm chính giữa cung AC nên  . Xét   và   không ổn. Xét   và  :   (đối đỉnh), nhưng không ổn.
• Cách đúng (a): M là điểm chính giữa cung AC   cung AM = cung MC  .
• •  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   vuông tại M.
  • ? Không, M là điểm chính giữa cung AC.
  • Xét   và  : M là chính giữa cung AC   không chắc chắn.
  • Lời giải chuẩn:   cùng thuộc một đường tròn? Không,   không phải, mà là   thẳng hàng? Đề bài nói BM cắt AC tại H. M là điểm chính giữa cung AC  . 

•  có M là điểm chính giữa cung AC  .
• M là điểm chính giữa cung AC  .

• Cần chứng minh  .

• Tứ giác AKDH là hình thoi. 

• A, C, N thẳng hàng. 

Đường tròn c: Đường tròn qua B_1 với tâm O Đường thẳng q: Tiếp tuyến của c qua A Đường thẳng q: Tiếp tuyến của c qua A Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, E] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [C, E] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [O, C] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [O, B] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [B, D] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, P] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [C, Q] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [P, Q] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [M, A] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [O, M] O = (-0.28, -0.29) O = (-0.28, -0.29) O = (-0.28, -0.29) Điểm B: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm E: Giao điểm của f, g Điểm E: Giao điểm của f, g Điểm E: Giao điểm của f, g Điểm D: Giao điểm của c, h Điểm D: Giao điểm của c, h Điểm D: Giao điểm của c, h Điểm P: Giao điểm của r, s Điểm P: Giao điểm của r, s Điểm P: Giao điểm của r, s Điểm Q: Giao điểm của r, t Điểm Q: Giao điểm của r, t Điểm Q: Giao điểm của r, t Điểm M: Trung điểm của g_1 Điểm M: Trung điểm của g_1 Điểm M: Trung điểm của g_1 Điểm F: Giao điểm của e, d Điểm F: Giao điểm của e, d Điểm F: Giao điểm của e, d

a. Ta thấy ngay tứ giác OBEC có hai góc vuông đối nhau nên nó là tứ giác nội tiếp.

b. Câu này cô thấy cần sửa đề thành AB.AP = AD.AE mới đúng.

Gọi Aq là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Khi đó ta có: \(\widehat{APE}=\widehat{BAq}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{BAq}=\widehat{BDA}\) (Cùng chắn cung BA) nên \(\widehat{APE}=\widehat{BDA}\)

Vậy thì \(\Delta ABD\sim\Delta AEP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AP}\Rightarrow AB.AP=AE.AD\)

c. +) Ta thấy \(\Delta BDE\sim\Delta ABE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{AE}\)

Tương tự \(\Delta CDE\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AE}\)

Mà BE = CE nên \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\)

Lại có \(\Delta ABD\sim\Delta AEP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{EP}=\frac{AB}{AE}\Rightarrow EP=\frac{BD.AE}{AB}\)

Tương tự \(\Delta ACD\sim\Delta AEQ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{AE}=\frac{CD}{EQ}\Rightarrow EQ=\frac{CD.AE}{AC}=\frac{BD.AE}{AB}=EP\)

Vậy EP = EQ.

+) Ta thấy ngay \(\Delta ABC\sim\Delta AQP\Rightarrow\frac{BC}{QP}=\frac{AC}{AP}\Rightarrow\frac{BC:2}{QP:2}=\frac{AC}{QP}\)

\(\Rightarrow\frac{MC}{PE}=\frac{AC}{AP}\)

Lại có  \(\widehat{ACM}=\widehat{APE}\) (Cùng bằng \(\widehat{BDA}\))

Từ đó suy ra \(\Delta AMC\sim\Delta AEP\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{PAE}\)

d. Ta có BD.AC = AB.CD

Lại có do ABCD là tứ giác nội tiếp nên 

AD.BC = AB.CD + AC.BD = 2AB.CD (Định lý Ptoleme)  \(\Rightarrow2MC.AD=2AB.CD\Rightarrow MC.AD=AB.CD\)

\(\Rightarrow\frac{MC}{AB}=\frac{CD}{AD}\)

Lại thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\Rightarrow\Delta BAD\sim\Delta MCD\left(c-g-c\right)\)

Mà \(\Delta BAD\sim\Delta MAC\Rightarrow\Delta MCD\sim\Delta MAC\)

\(\Rightarrow\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MC}\Rightarrow MA.MD=MC^2=\frac{BC^2}{4}.\)

d: \(SA^2=SB\cdot SC\)

\(SE^2=SB\cdot SC\)

=>SA=SE

Xét ΔOAS và ΔOES có

OA=OE

SA=SE

OS chung

Do đó: ΔOAS=ΔOES

=>\(\widehat{OAS}=\widehat{OES}\)

mà \(\widehat{OAS}=90^0\)

nên \(\widehat{OES}=90^0\)

=>E nằm trên đường tròn đường kính SO

mà S,A,O,D cùng thuộc đường tròn đường kính SO(cmt)

nên E nằm trên đường tròn (SAOD)

a: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}\) và MB=MC

Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{BAM}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

b: Xét (O) có

\(\widehat{SAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{SAC}=\widehat{ABC}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSAC và ΔSBA có

\(\widehat{SAC}=\widehat{SBA}\)

\(\widehat{ASC}\) chung

Do đó: ΔSAC đồng dạng với ΔSBA

=>\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SC}{SA}\)

=>\(SA^2=SB\cdot SC\)

c: Xét (O) có

góc CKA là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung AC và BM

=>\(\widehat{CKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BM}\right)\)

=>\(\widehat{SKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)

mà \(\widehat{SAK}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AM)

nên \(\widehat{SAK}=\widehat{SKA}\)

=>SA=SK

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác SAOD có

\(\widehat{SAO}+\widehat{SDO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAOD là tứ giác nội tiếp

=>S,A,D,O cùng thuộc một đường tròn

1: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥BC tại M

Xét tứ giác DAOM có \(\hat{DAO}+\hat{DMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên DAOM là tứ giác nội tiếp

2: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOE}=\hat{COE}\)

=>sđ cung BE=sđ cung CE

=>E là điểm chính giữa của cung BC

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{AEC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

=>\(\hat{ABC}=\hat{AEC}\)

Xét (O) có

\(\hat{BAE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\hat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{CAE}\)

Xét ΔABG và ΔAEC có

\(\hat{ABG}=\hat{AEC}\)

góc BAG=góc EAC

Do đó: ΔABG~ΔAEC

=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AC}\)

=>\(AG\cdot AE=AB\cdot AC\)