a)  Phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B là: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0\)

 Phương trình đường thẳng AC đi qua 2 điểm A và C là: \(\frac{{x - 1}}{{5 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 3}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x + 2y - 9 = 0\)

 Phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm B và C là:

\(\frac{{x + 1}}{{5 + 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0\)

b)  Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

 Lấy N là trung điểm của AB, suy ra \(N\left( {0;1} \right)\).

 Do \(d \bot AB\) nên ta có vecto pháp tuyến của d là: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)\)

 Vậy phương trình đường thẳng d đi qua N có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)\) là:

\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

c)  Do AH vuông góc với BC nên vecto pháp tuyến của AH là \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

 Vậy phương trình đường cao AH đi qua điểm A có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)là: \(3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0\)

 Do M là trung điểm BC nên \(M\left( {2; - 2} \right)\). Vậy ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)\)

 Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)\) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 8 = 0\)

a: vecto AB=(1;-1); vecto AC=(2;1); vecto BC=(1;2)

AB có VTPT là (1;1)

Phương trình AB là;

1(x-1)+1(y+1)=0

=>x+y=0

AC có VTPT là (-1;2)

PT AC là:

-1(x-1)+2(y+1)=0

=>-x+1+2y+2=0

=>-x+2y+3=0

BC có VTPT là (-2;1)

PT BC là;

-2(x-2)+1(y+2)=0

=>-2x+y+6=0

b: AH có VTPT là (1;2)

Phương trình AH là:

1(x-1)+2(y+1)=0

=>x-1+2y+2=0

=>x+2y+1=0

a: A(-3;5); B(1;-3)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1+3;-3-5\right)=\left(4;-8\right)=\left(1;-2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (2;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

2(x+3)+1(y-5)=0

=>2x+6+y-5=0

=>2x+y+1=0

A(-3;5); C(2;-2)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(2+3;-2-5\right)=\left(5;-7\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (7;5)

Phương trình đường thẳng AC là:

7(x+3)+5(y-5)=0

=>7x+21+5y-25=0

=>7x+5y-4=0

B(1;-3); C(2;-2)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(2-1;-2+3\right)=\left(1;1\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-1;1)

Phương trình đường thẳng BC là:

-1(x-1)+1(y+3)=0

=>-x+1+y+3=0

=>-x+y+4=0

=>x-y-4=0

b: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và song song với BC

(d)//BC

=>(d): x-y+c=0

Thay x=3 và y=-5 vào (d), ta được:

3-(-5)+c=0

=>3+5+c=0

=>c+8=0

=>c=-8

=>(d): x-y-8=0

c: Tọa độ M là:

\(\begin{cases}x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac32=1,5\\ y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=\frac{-3+\left(-2\right)}{2}=-\frac52=-2,5\end{cases}\)

=>M(1,5;-2,5)

A(3;-5); M(1,5;-2,5)

\(\overrightarrow{AM}=\left(1,5-3;-2,5+5\right)=\left(-1,5;2,5\right)=\left(-3;5\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (5;3)

Phương trình đường thẳng AM là:

5(x-3)+3(y+5)=0

=>5x-15+3y+15=0

=>5x+3y=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\)

=>Phương trình đường cao AH sẽ đi qua A và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-3)+1(y+5)=0

=>x-3+y+5=0

=>x+y+2=0

d: M(1,5;-2,5); \(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\)

=>Phương trình đường trung trực của BC sẽ đi qua M(1,5;-2,5) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của BClà:

1(x-1,5)+1(y+2,5)=0

=>x-1,5+y+2,5=0

=>x+y+1=0

a: vecto AB=(1;-1); vecto AC=(2;1); vecto BC=(1;2)

AB có VTPT là (1;1)

Phương trình AB là;

1(x-1)+1(y+1)=0

=>x+y=0

AC có VTPT là (-1;2)

PT AC là:

-1(x-1)+2(y+1)=0

=>-x+1+2y+2=0

=>-x+2y+3=0

BC có VTPT là (-2;1)

PT BC là;

-2(x-2)+1(y+2)=0

=>-2x+y+6=0

b: AH có VTPT là (1;2)

Phương trình AH là:

1(x-1)+2(y+1)=0

=>x-1+2y+2=0

=>x+2y+1=0