Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Chứng minh ∆MEF:∆MOA
b, ∆MEF:∆MOA mà AO=OM => ME=EF
c, Chứng minh F là trực tâm của ∆SAB, AI là đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàng
d, FA.SM = 2 R 2
e, S M H O = 1 2 OH.MH ≤ 1 2 . 1 2 M O 2 = 1 4 R 2
=> M ở chính giữa cung AC
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
a: Xét (O) có
\(\hat{BMP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MP và dây cung MB
\(\hat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó: \(\hat{BMP}=\hat{MAB}\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>MB⊥MA tại M
=>MB⊥SA tại M
Xét tứ giác AOTM có \(\hat{AOT}+\hat{AMT}=90^0+90^0=180^0\)
nên AOTM là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OTM}+\hat{OAM}=180^0\)
mà \(\hat{OTM}+\hat{PTM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{PTM}=\hat{OAM}\)
=>\(\hat{PTM}=\hat{OMA}\)
Xét ΔOMA và ΔPTM có
\(\hat{OMA}=\hat{PTM}\)
\(\hat{OAM}=\hat{PMT}\)
Do đó: ΔOMA~ΔPTM
=>\(\frac{MA}{MT}=\frac{OM}{PT}\)
=>\(MT\cdot OM=MA\cdot PT\)
=>\(MA\cdot PT=MT\cdot OA\)
b: Ta có: \(\hat{PTM}=\hat{OAM}\)
\(\hat{PMT}=\hat{OAM}\)
Do đó: \(\hat{PTM}=\hat{PMT}\)
=>PM=PT
ta có: \(\hat{PMT}+\hat{PMS}=\hat{TMS}=90^0\)
\(\hat{PTM}+\hat{PSM}=90^0\) (ΔTMS vuông tại M)
mà \(\hat{PMT}=\hat{PTM}\)
nên \(\hat{PMS}=\hat{PSM}\)
=>PM=PS
mà PM=PT
nên PM=PS=PT
a:
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>\(\hat{AMB}=90^0\)
Ta có: \(\hat{EMF}+\hat{OMF}=\hat{OME}=90^0\)
\(\hat{OMF}+\hat{AMO}=\hat{AMF}=90^0\)
Do đó: \(\hat{EMF}=\hat{AMO}\)
Ta có: \(\hat{EFM}=\hat{OFB}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\hat{OFB}=\hat{MAO}\left(=90^0-\hat{MBA}\right)\)
Do đó: \(\hat{EFM}=\hat{MAO}\)
Xét ΔEFM và ΔOAM có
\(\hat{EFM}=\hat{OAM}\)
\(\hat{EMF}=\hat{OMA}\)
Do đó: ΔEFM~ΔOAM
=>\(\frac{MF}{MA}=\frac{ME}{MO}=\frac{EF}{OA}\)
=>\(MF\cdot OA=MA\cdot EF\)
b: Xét (O) có
\(\hat{EMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến EM và dây cung MB
\(\hat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó: \(\hat{EMB}=\hat{MAB}\)
mà \(\hat{MAB}=\hat{MFE}\left(=180^0-\hat{MFO}\right)\)
nên \(\hat{EMF}=\hat{EFM}\)
=>EM=EF
Ta có: \(\hat{EMF}+\hat{EMS}=\hat{SMF}=90^0\)
\(\hat{EFM}+\hat{ESM}=90^0\) (ΔSMF vuông tại M)
mà \(\hat{EMF}=\hat{EFM}\)
nên \(\hat{EMS}=\hat{ESM}\)
=>EM=ES
mà EM=EF
nên EM=EF=ES
a) Ta có \(IM//AE\)suy ra \(\widehat{MIH}=\widehat{EAH}\). Mà \(\widehat{EAH}=\widehat{ECH}\)nên \(\widehat{MIH}=\widehat{MCH}\). Suy ra tứ giác CIMH nội tiếp.
Dễ dàng chỉ ra được ED là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\)suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HCE}\)\(\left(1\right)\)
Do tứ giác CIMH nội tiếp nên \(\widehat{CHM}=90^0\)suy ra \(\widehat{HCM}+\widehat{HMC}=90^0\)
Mà \(\widehat{HMD}+\widehat{HMC}=90^0\)nên \(\widehat{HCM}=\widehat{HMD}\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HMD}\)nên tứ giác EMHD nội tiếp. Do đó \(\widehat{HDM}=\widehat{HEM}\)mà \(\widehat{HEM}=\widehat{HCD}\)nên \(\widehat{HDM}=\widehat{HCD}\)
Từ đó chứng minh được BD là tiếp tuyến của \(\left(O_1\right)\)
b) Sử dụng tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung ta có: \(OO_2\perp HE,O_2O_1\perp HD\)và do \(EH\perp HD\)suy ra \(OO_2\perp O_2O_1\)
Dễ thấy \(\widehat{COM}=45^0\)suy ra \(\widehat{CAE}=45^0\)nên \(\widehat{O_2OO_1}=45^0\). \(\Delta O_2OO_1\)vuông cân tại \(O_2\)
Tứ giác OCDE là hình vuông cạnh R và \(O_2\) là trung điểm của DE nên ta tính được \(O_2O^2=\frac{5R^2}{4}\)
.Vậy diện tích \(\Delta O_2OO_1\) là\(\frac{5R^2}{8}\)
a: Sửa đề: \(EM\cdot AM=MF\cdot OA\)
\(\widehat{EMO}=\widehat{EMF}+\widehat{OMF}\)
=>\(\widehat{EMF}+\widehat{OMF}=90^0\)(1)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>\(\widehat{AMO}+\widehat{FMO}=\widehat{AMF}=90^0\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{EMF}=\widehat{AMO}\)
=>\(\widehat{EMF}=\widehat{OAM}\)
ΔMEO vuông tại M
=>\(\widehat{MEO}+\widehat{MOE}=90^0\)
=>\(\widehat{MEF}+\widehat{MOE}=90^0\)(3)
Ta có: OM nằm giữa OA và OE
=>\(\widehat{AOM}+\widehat{MOE}=90^0\)(4)
từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{MEF}=\widehat{AOM}\)
Xét ΔMEF và ΔAOM có
\(\widehat{MEF}=\widehat{AOM}\)
\(\widehat{EMF}=\widehat{OAM}\)
Do đó: ΔMEF đồng dạng với ΔAOM
=>ME/AO=MF/AM
=>\(ME\cdot AM=AO\cdot MF\)
b: Xét (O) có
ΔAIB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAIB vuông tại I
=>AI\(\perp\)SB
Xét ΔSAB có
BM,SO là đường cao
BM cắt SO tại F
Do đó; F là trực tâm
=>AF\(\perp\)SB
mà AI\(\perp\)SB(cmt)
và AF,AI có điểm chung là A
nên A,I,F thẳng hàng