a: Xét (O) có

\(\hat{BMP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MP và dây cung MB

\(\hat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

Do đó: \(\hat{BMP}=\hat{MAB}\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>MB⊥MA tại M

=>MB⊥SA tại M

Xét tứ giác AOTM có \(\hat{AOT}+\hat{AMT}=90^0+90^0=180^0\)

nên AOTM là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OTM}+\hat{OAM}=180^0\)

mà \(\hat{OTM}+\hat{PTM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{PTM}=\hat{OAM}\)

=>\(\hat{PTM}=\hat{OMA}\)

Xét ΔOMA và ΔPTM có

\(\hat{OMA}=\hat{PTM}\)

\(\hat{OAM}=\hat{PMT}\)

Do đó: ΔOMA~ΔPTM

=>\(\frac{MA}{MT}=\frac{OM}{PT}\)

=>\(MT\cdot OM=MA\cdot PT\)

=>\(MA\cdot PT=MT\cdot OA\)

b: Ta có: \(\hat{PTM}=\hat{OAM}\)

\(\hat{PMT}=\hat{OAM}\)

Do đó: \(\hat{PTM}=\hat{PMT}\)

=>PM=PT

ta có: \(\hat{PMT}+\hat{PMS}=\hat{TMS}=90^0\)

\(\hat{PTM}+\hat{PSM}=90^0\) (ΔTMS vuông tại M)

mà \(\hat{PMT}=\hat{PTM}\)

nên \(\hat{PMS}=\hat{PSM}\)

=>PM=PS

mà PM=PT

nên PM=PS=PT

@Nguyễn Việt Lâm@Khôi Bùi@Truong Viet Truong@Akai Haruma@Phùng Tuệ Minh@DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG@saint suppapong udomkaewkanjana

#)Giải :

Có \(\widehat{AMB}=90^o\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  

\(\Rightarrow\widehat{OMA}+\widehat{OMT}=\widehat{AMB}=90^o\)

MF là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{OMF}=90^o\Rightarrow\widehat{OMT}+\widehat{TMF}=\widehat{OMF}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{TMF}\left(1\right)\)

Dễ c/m \(\Delta BAM~\Delta BOT\Rightarrow\left(g.g\right)\widehat{OAM}=\widehat{OTB}\)

Mà \(\widehat{OCB}=\widehat{MTF}\left(đđ\right)\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{MTF}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta OMA~\Delta FMT\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MA}{MT}=\frac{OA}{OF}\Rightarrow MA.FT=OA.MT\)

b) Có \(\Delta OMA~\Delta FMT\left(cmt\right)\)

Mà \(\Delta OMA\) cân tại O

\(\Rightarrow\Delta FMT\) cân tại F

\(\Rightarrow FM=FT\) (cặp cạnh t/ứng = nhau)

Lại có \(\Delta TME\) vuông tại M \(\Rightarrow FM=FE\)

c) Dễ c/m được TA = TB

Mà \(\Delta MTE~\Delta OTB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{ME}{OB}=\frac{TE}{TB}\Rightarrow ME.TB=OB.TE\Rightarrow ME.TA=2R^2\left(TE=2MF=2R\right)\)

a: Sửa đề: \(EM\cdot AM=MF\cdot OA\)

\(\widehat{EMO}=\widehat{EMF}+\widehat{OMF}\)

=>\(\widehat{EMF}+\widehat{OMF}=90^0\)(1)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>\(\widehat{AMO}+\widehat{FMO}=\widehat{AMF}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{EMF}=\widehat{AMO}\)

=>\(\widehat{EMF}=\widehat{OAM}\)

ΔMEO vuông tại M

=>\(\widehat{MEO}+\widehat{MOE}=90^0\)

=>\(\widehat{MEF}+\widehat{MOE}=90^0\)(3)

Ta có: OM nằm giữa OA và OE

=>\(\widehat{AOM}+\widehat{MOE}=90^0\)(4)

từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{MEF}=\widehat{AOM}\)

Xét ΔMEF và ΔAOM có

\(\widehat{MEF}=\widehat{AOM}\)

\(\widehat{EMF}=\widehat{OAM}\)

Do đó: ΔMEF đồng dạng với ΔAOM

=>ME/AO=MF/AM

=>\(ME\cdot AM=AO\cdot MF\)

b: Xét (O) có

ΔAIB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAIB vuông tại I

=>AI\(\perp\)SB

Xét ΔSAB có

BM,SO là đường cao

BM cắt SO tại F

Do đó; F là trực tâm

=>AF\(\perp\)SB

mà AI\(\perp\)SB(cmt)

và AF,AI có điểm chung là A

nên A,I,F thẳng hàng