Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ và $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ sao cho $DM=MA$.

Suy ra $M$ là trung điểm của $AD$.

Do đó trong tứ giác $ABDC$, hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:

$ABDC$ là hình bình hành.

Mà $\widehat{BAC}=90^\circ$ nên:

$ABDC$ là hình chữ nhật.

Suy ra: $CD\parallel AB$ và $CD=AB$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\boxed{CD\perp AC}$.

Lại có $AH\perp BC$ tại $H$ và $E$ thuộc tia đối của tia $HA$ sao cho $HE=HA$.

Suy ra $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác vuông $ABC$, $H$ là chân đường cao nên:

$AH^2=BH\cdot HC$.

Mặt khác: $AE=2AH$.

Ta có: $CE^2=CH^2+HE^2=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$.

Mà: $AC^2=CH\cdot BC$.

Suy ra: $CE^2=AC^2$.

Do đó: $\boxed{CE=AC}$.

Từ trên có: $CD=AB,\ CE=AC$.

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$BC^2=AB^2+AC^2$.

Suy ra: $BC^2=CD^2+CE^2$.

Theo định lí đảo Py-ta-go trong tam giác $DCE$:

$\widehat{DCE}=90^\circ$.

Hay: $CD\perp CE$.

Mà $CD\perp AC$ nên: $CE\parallel AC$.

Từ đó: $\widehat{CAE}=\widehat{AEC}$.

Do $CE=AC$ nên: $\boxed{\widehat{CAE}=\widehat{AEC}}$.

Xét tam giác $ADE$.

Ta có $M$ là trung điểm của $AD$ và $H$ là trung điểm của $AE$.

Trong tam giác $DAE$: $MH\parallel DE$.

Mà $M,H\in BC$ nên: $MH\subset BC$.

Suy ra: $DE\parallel BC$.

Lại có: $AE\perp BC$.

Do đó: $\boxed{AE\perp ED}$.

1.Xét tam giác OAM và tam giác OBM,ta có:

Cạnh OM là cạnh chung

OA = OB (gt)

góc AOM = góc BOM ( vì Ot là tia phân giác của góc xOy)

=> Tam giác OAM = tam giác OBM (c.g.c)

=> MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)

2.Ta có: MA = MB (cmt)

=> Tam giác AMB là tam giác cân

góc MAH = góc MBH ( cmt)

MA = MB ( cmt)

góc AMH = góc BMH ( vì tam giác OAM = tam giác OBM)

=> tam giác AMH và tam giác BMH ( g.c.g)

=> AH = HB ( 2 cạnh tương ứng)

=> H là trung điểm của AB (1)

Vì tam giác AMH = tam giác BMH (cmt)

=>góc MHA = góc MHB ( 2 góc tương ứng)

mà góc MHA + góc MHB = 180 độ ( 2 góc kề bù)

=> góc MHA = góc MHB= 180 độ : 2 = 90 độ

=> MH vuông góc với AB (2)

Từ (1) và (2) => MH là đường trung trực của AB

=> OM là đường trung trực của AB ( vì H thuộc OM )

3.Vì H là trung điểm của AB (cmt)

=> AH =HB = AB : 2 = 6 :2 = 3 (cm)

Xét tam giác OAH vuông tại H

Ta có OA² =OH²+AH² (định lý pi ta gô)

\(\Rightarrow\)5²=OH²+3²

^{\(\Rightarrow\)}25=OH²+9

\(\Rightarrow\)OH² =25-9

\(\Rightarrow\)OH²=16

\(\Rightarrow\)OH²=\(\sqrt{16}\)

\(\Rightarrow\)OH²=4

bn vô cái này nhé :

http://olm.vn/hoi-dap/question/48905.html