Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải hộ !
Đặt \(A=\frac{\frac{1}{2}c+ab}{a+b}+\frac{\frac{1}{2}a+bc}{b+c}+\frac{\frac{1}{2}b+ac}{a+c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)c+ab}{a+b}+\frac{\left(a+b+c\right)a+bc}{b+c}+\frac{\left(a+b+c\right)b+ac}{a+c}\)
\(=\frac{ac+bc+c^2+ab}{a+b}+\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}+\frac{ab+b^2+bc+ac}{a+c}\)
\(=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương :
\(\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=2\sqrt{\left(a+c\right)^2}\)
\(=2\left(a+c\right)\)
C/m tương tự :
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\left(b+c\right)\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên lại ta được :
\(2A\ge2\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow2A\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\left(a+b+c\right)=2.\frac{1}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{6}}\)
Vậy .............
Cách khác:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left[b\left(1+a^2\right)-a\left(1+b^2\right)\right]}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng).
\(\Leftrightarrow\left(2+a^2+b^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2ab+a^2+b^2+ab\left(a^2+b^2\right)\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a\ge1;b\ge1\))
Chứng minh bằng biến đổi tương đương :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)\left(\frac{b}{1+b^2}-\frac{a}{1+a^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{1+ab}.\frac{\left(a-b\right)\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)
Vì \(a\ge1,b\ge1\) nên \(ab-1\ge0\) . Mặt khác vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên ta có điều phải chứng minh.
đề bài
cm
1/a+2 + 1/b+2 +1/c+2 <=1
bn p viết đề chứ???
##thiêndi###
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
\(\frac{1}{\left(1+a^2\right)}+\frac{1}{\left(1+b^2\right)}>=\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a^2\right)}+\frac{1}{\left(1+b^2\right)}-\frac{2}{\left(1+ab\right)}>=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{1}{\left(1+a^2\right)}-\frac{1}{\left(1+ab\right)}\right]+\left[\frac{1}{\left(1+b^2\right)}-\frac{1}{\left(1+ab\right)}\right]>=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a\left(b-c\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}\right]+\left[\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\right]>=0\)
\(\frac{\left[a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)-b\left(b-a\right)\left(1+a^2\right)\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\)
\(\frac{\left[\left(b-a\right)\left(a+ab^2-b+ba^2\right)\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\)
\(\frac{\left[\left(b-a\right)\left[\left(a-b\right)+ab\left(b-a\right)\right]\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\)
\(\frac{\left[\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\left(1\right)\)
Mẫu số luôn lớn hơn 1
\(\left(b-a\right)^2>=0\) voi moi a,b
Vì a,b >=1 nên ( ab-1) > = 0
Nên (1) dụng
Ko hieu het.Minh m jop 6 a
a=b=2
Dung 10000000000000000%
ko thể hiểu mk mới lớp 6-1 thôi
dùng bất đẳng thức svax-sơ nha bạn. dấu bằng khi a=b=1
Lương Ngọc Anh bạn làm rõ ra đi tui ko bik BĐT đó
dấu "=" xảy ra khi 1+2(a^2+b^2)=1+ab
100000000000000000000000000000%
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}=\frac{1+b^2+1+a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\frac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\)
làm bậy, lớp 7 thì chịu viết cho vui thui
he!he! hậu quả của nhưng người nổi tiếng ( giống tui)
oh! tui đâu có ý đó đâu!
\(\frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{x_2}+..+\frac{a_n}{x_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{x_1+x_2+......+x_n}\)
Áp dụng:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Người Yêu Môn Toán ko áp dụng dc tui làm trăm lần rồi
to co the lam dc nhung ko hieu lam
áp dụng BĐT svax-sơ ta cóP= \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2}\)=\(\frac{4}{a^2+b^2}\)
mà a^2+b^2\(\ge2ab\) => P\(\ge\frac{2}{ab}\)\(\ge\frac{2}{1+ab}\)
=> P\(\ge\frac{2}{1+ab}\)
dấu = xảy khi khi a=b=1
1/(1+a²) + 1/(1+b²) ≥ 2/(1+ab)
<=> 1/(1+a²) - 1/(1+ab) + 1/(1+b²) - 1/(1+ab) ≥ 0
<=> (ab-a²) /(1+a²)(1+ab) + (ab-b²) /(1+b²)(1+ab) ≥ 0
<=> [a(b-a)(1+b²) + b(a-b)(1+a²)] / (1+a²)(1+b²)(1+ab) ≥ 0
<=> (b-a).(a+ab² - b-ba²) ≥ 0 <=> (b-a).[a-b + ab(b-a)] ≥ 0
<=> (b-a)².(ab-1) ≥ 0
đúng
bạn chuyển sang rồi CM tương đương