\(a^2+b^2=a^3+b^3=a^4+b^4\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Rightarrow a^6+b^6+2a^3b^3=a^6+b^6+a^2b^4+a^4b^2\)

\(\Rightarrow2a^3b^3=a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow2ab=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=b\)

Thế vào \(a^2+b^2=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow a^2+a^2=a^3+a^3\Rightarrow2a^3=2a^2\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow a+b=2\)

VP `=(a+b)(a^2-ab+b^2)`

`=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3`

`=a^3+b^3`

.

VP `=(a-b)(a^2+ab+b^2)`

`=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3`

`=a^3-b^3`

đúng rồi mà

Ta có:

 \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\\ \Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=\left(b-c\right)^2=\left(c-a\right)^2=0\\ \Leftrightarrow a=b=c\)

Lại có: \(a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=1\)

\(\Rightarrow M=1^{2016}+1^{2015}+1^{2020}=1+1+1=3\)

a: \(a^2+4a=b^2+4b+1\)

=>\(a^2+4a-b^2-4b=0\)

=>(a-b)(a+b)+4(a-b)=0

=>(a-b)(a+b+4)=0

mà a-b<>0

nên a+b+4=0

=>a+b=-4

b: Đặt \(X=a^3+b^3\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(-4\right)^3-3ab\cdot\left(-4\right)=-64+12ab\)

\(a^2+4a=1\)

=>\(a^2+4a-1=0\)

=>\(a^2+4a+4-5=0\)

=>\(\left(a+2\right)^2=5\)

=>\(\left[\begin{array}{l}a+2=\sqrt5\\ a+2=-\sqrt5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}a=\sqrt5-2\\ a=-\sqrt5-2\end{array}\right.\)

\(b^2+4b=1\)

=>\(b^2+4b-1=0\)

=>\(b^2+4b+4-5=0\)

=>\(\left(b+2\right)^2=5\)

=>\(\left[\begin{array}{l}b+2=\sqrt5\\ b+2=-\sqrt5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}b=\sqrt5-2\\ b=-\sqrt5-2\end{array}\right.\)

Vì a<>b nên sẽ có hai trường hợp sau:

TH1: \(a=\sqrt5-2;b=-\sqrt5-2\)

=>\(ab=\left(\sqrt5-2\right)\left(-\sqrt5-2\right)=-\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)=-1\)

X=-64+12ab

=-64-12

=-76

TH2: \(a=-\sqrt5-2;b=\sqrt5-2\)

=>\(ab=\left(\sqrt5-2\right)\left(-\sqrt5-2\right)=-\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)=-1\)

X=-64+12ab

=-64-12

=-76

Vậy: X=-76

c: Đặt \(Y=a^4+b^4\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)

\(=\left\lbrack\left(a+b\right)^2-2ab\right\rbrack^2-2\cdot\left(ab\right)^2\)

\(=\left\lbrack\left(-4\right)^2-2\cdot\left(-1\right)\right\rbrack^2-2\cdot\left(-1\right)^2=\left\lbrack16+2\right\rbrack^2-2\)

\(=18^2-2\)

=324-2

=322

2

Ta có:

1, \(VT=a^2+b^2=a^2+b^2+2ab-2ab=\left(a+b\right)^2-2ab=VP\left(đpcm\right)\)

a) Rút gọn M = 279. Với m = 2017 giá trị của M = 279.

b) N = 8 a 3   -   27 b 3   =   ( 2 a ) 3   -   ( 3 b ) 3 = ( 2 a   -   3 b ) 3  + 3.2a.3b.(2a - 3b)

Thay a.b = 12;2a - 3b = 5 ta thu được N - 1205.

c) Cách 1: Từ a + b = 1 Þ a = 1 - b thế vào K.

Thực hiện rút gọn K, ta có kết quả K = 1.

Cách 2: Tìm cách đưa biêu thức về dạng a + b.

a 3   +   b 3   =   ( a   +   b ) 3  – 3ab(a + b) = 1 - 3ab;

6 a 2 b 2 (a + b) = 6 a 2 b 2  kết hợp với 3ab( a 2 + b 2 ) bằng cách đặt 3ab làm nhân tử chung ta được 3ab( a 2  + 2ab + b 2 ) = 3ab.

Thực hiện rút gọn K = 1.