Nếu a = 4 => b = 3 => a+b = 7

=> a>=4 , ab>= 12 thì a+b >= 7

Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

Ta có: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) ( BĐT Cauchy )

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{abc}{b}+\dfrac{abc}{c}+\dfrac{abc}{a}\)

Hay \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ac+ab+bc\left(đpcm\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :

\(\dfrac{a^3}{b}+ab\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2\left(1\right)\)

\(\dfrac{b^3}{c}+bc\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b^3}{c}.bc}=2\sqrt{b^4}=2b^2\left(2\right)\)

\(\dfrac{c^3}{a}+ac\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c^3}{a}.ac}=2\sqrt{c^4}=2c^2\left(3\right)\)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\) ≥ \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ( * )

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :

\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\left(4\right)\)

\(b^2+c^2\) ≥ \(2bc\left(5\right)\)

\(c^2+a^2\) ≥ \(2ac\left(6\right)\)

Cộng từng vế của ( 4 ; 5 ; 6) , ta có :

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ≥ \(2\left(ab+bc+ac\right)\) ( ** )

Từ ( * ; ** ) , ta có :

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\) ≥ \(2\left(ab+bc+ac\right)\)

⇔ \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\) ≥ \(ab+bc+ac\)

c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)

sao dễ vậy

a) Ta chọn biểu thức B làm trung gian sao cho A > B, còn B \(\ge\)\(\frac{7}{12}\). 

Tách A thành 2 nhóm, mỗi nhóm 50 phân số, rồi thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta được :

A =  \(\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{150}\right)+\left(\frac{1}{151}+\frac{1}{152}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(>\frac{1}{150}.50+\frac{1}{200}.50=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)

b) Tách A thành bốn nhóm rồi cũng làm như trên, ta được :

A > \(\frac{25}{125}+\frac{25}{150}+\frac{25}{175}+\frac{25}{200}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\frac{1}{8}=\frac{107}{210}+\frac{1}{8}>\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}\)

Ta có a^2+b^2+1>=ab+a+b (1)

<=> 2a^2+2b^2+2>=2ab+2a+ab

<=>2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b>=0

<=>(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)>=0

<=>(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2>=0 luôn đúng

       Vây BĐT(1) đúng (đpcm)

a²+b²+1-ab-a-b>=0

2a²+2b²+2-2ab-2a-2b>=0

(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²>=0

Dấu = xảy ra khi a=b