Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Xét biểu thức \(B\):
Đặt \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\). - So sánh \(A\) và \(B\):
Ta thấy với mọi số tự nhiên \(n \geq 1\):
\(\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}\)
Áp dụng vào từng cặp phân số:
Vì tất cả các phân số đều dương, nhân vế theo vế ta được: \(A < B\). - \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- \(\dots \)
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
- Tính tích \(A \cdot B\):
\(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\right)\)
Rút gọn các tử số và mẫu số giống nhau (2 rút gọn cho 2, 3 cho 3, ..., 200 cho 200), ta còn lại:
\(A\cdot B=\frac{1}{201}\) - Kết luận:
Vì \(A < B\) và cả $A, B$ đều dương nên:
\(A\cdot A<A\cdot B\)
\(\Rightarrow A^{2}<\frac{1}{201}\)
(Đpcm)
a/P=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/199-1/200
=(1+1/3+1/5+1/7+...+1/199)-(1/2+1/4+1/6+...+1/200)
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/99+1/200)-2(1/2+1/4+1/6+...+1/200)
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/99+1/200)-(1+1/2+1/3+...+1/100)
=1/101+1/102+1/103+...+1/200
Ta có :
1002 > 99 . 100
1012 > 100 . 101
..............
2002 > 199. 200
=> A < \(\frac{1}{99.100}+\frac{1}{100.101}+...+\frac{1}{199.200}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
=> A < \(\frac{1}{99}-\frac{1}{200}< \frac{1}{99}\) \(\left(1\right)\)
Tương tự ta có :
A > \(\frac{1}{100.101}+\frac{1}{101.102}+...+\frac{1}{200.201}\)
=> A > \(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}-\frac{1}{201}\)
=> A > \(\frac{1}{100}-\frac{1}{201}>\frac{1}{100}-\frac{1}{200}\)
=> A > \(\frac{1}{200}\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)Ta có :
\(\frac{1}{200}< A< \frac{1}{99}\)
=> ĐPCM
Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), luôn có \(\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}\).
Áp dụng vào biểu thức \(A\) và \(B\):
Suy ra: \(A < B\)
\(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)\)
Khi nhân lại, các số ở tử và mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\(A\cdot B=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\)
Vì \(A > 0\) và \(A < B\), nên:
\(A\cdot A<A\cdot B\)
\(A^{2}<\frac{1}{201}\)Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{101}\), nên ta có:
\(A^{2}<\frac{1}{101}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}\)