VN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 7
Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán này một cách ngắn gọn nhé.Đề bàiCho \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Chứng minh rằng \(A^2 < \frac{1}{101}\).Lời giảiĐặt \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\).
- So sánh từng thừa số:
Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), luôn có \(\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}\).
Áp dụng vào biểu thức \(A\) và \(B\):
Suy ra: \(A < B\) - \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- ...
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
- Tính tích \(A \cdot B\):
\(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)\)
Khi nhân lại, các số ở tử và mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\(A\cdot B=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\) - Chứng minh \(A^2 < \frac{1}{101}\):
Vì \(A > 0\) và \(A < B\), nên:
\(A\cdot A<A\cdot B\)
\(A^{2}<\frac{1}{201}\)Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{101}\), nên ta có:
\(A^{2}<\frac{1}{101}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}\)
11 tháng 7
Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức cho biểu thức \(S\):\(S=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdots \frac{200}{199}\)Chứng minh rằng: \(201 < S^2 < 400\).1. Chứng minh \(S^2 < 400\)Ta có mỗi phân số trong tích \(S\) đều có dạng \(\frac{2n}{2n-1}\).
Dễ dàng thấy \(\frac{2n}{2n-1} < 2\) (với \(n \ge 1\)), nhưng cách này không giúp chặn được \(S^2 < 400\).Xét \(S\) gồm 100 phân số:
\(S=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{6}{5}\right)\dots \left(\frac{200}{199}\right)\)Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} < \frac{2n+1}{2n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Gọi \(A = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200}\).
Khi đó: \(S < A\).
\(\Rightarrow S^2 < S \cdot A = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{200}{199} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200} \right)\)
\(\Rightarrow S^2 < \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 200 \cdot 201}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 199 \cdot 200} = 201\)Vì \(S^2 < 201\) nên hiển nhiên \(S^2 < 400\).2. Chứng minh \(201 < S^2\)Ta sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} > \frac{2n+1}{2n}\) là sai, ta cần so sánh ngược lại.
Xét \(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{199}{200}\). Ta thấy \(S = \frac{1}{B}\).Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}\) (vì \((2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1 < 4n^2\)).
Áp dụng cho từng thừa số của \(B\):
\(B<\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \frac{200}{201}\)
\(\Rightarrow B^2 < B \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{199}{200} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right)\)
\(\Rightarrow B^2 < \frac{1}{201}\)Vì \(S = \frac{1}{B} \Rightarrow S^2 = \frac{1}{B^2}\).
Do \(B^2 < \frac{1}{201} \Rightarrow \frac{1}{B^2} > 201\).
Vậy \(S^2 > 201\).Kết luận: \(201 < S^2 < 400\) (đpcm).
Dễ dàng thấy \(\frac{2n}{2n-1} < 2\) (với \(n \ge 1\)), nhưng cách này không giúp chặn được \(S^2 < 400\).Xét \(S\) gồm 100 phân số:
\(S=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{6}{5}\right)\dots \left(\frac{200}{199}\right)\)Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} < \frac{2n+1}{2n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Gọi \(A = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200}\).
Khi đó: \(S < A\).
\(\Rightarrow S^2 < S \cdot A = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{200}{199} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200} \right)\)
\(\Rightarrow S^2 < \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 200 \cdot 201}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 199 \cdot 200} = 201\)Vì \(S^2 < 201\) nên hiển nhiên \(S^2 < 400\).2. Chứng minh \(201 < S^2\)Ta sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} > \frac{2n+1}{2n}\) là sai, ta cần so sánh ngược lại.
Xét \(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{199}{200}\). Ta thấy \(S = \frac{1}{B}\).Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}\) (vì \((2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1 < 4n^2\)).
Áp dụng cho từng thừa số của \(B\):
- \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- ...
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
\(B<\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \frac{200}{201}\)
\(\Rightarrow B^2 < B \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{199}{200} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right)\)
\(\Rightarrow B^2 < \frac{1}{201}\)Vì \(S = \frac{1}{B} \Rightarrow S^2 = \frac{1}{B^2}\).
Do \(B^2 < \frac{1}{201} \Rightarrow \frac{1}{B^2} > 201\).
Vậy \(S^2 > 201\).Kết luận: \(201 < S^2 < 400\) (đpcm).
7 tháng 4 2016
C = 1/200
=> C^2 = 1/400 < 1/201
=> C^2 < 1/201 (đpcm)
K nhé!
11 tháng 7
Bài toán yêu cầu chứng minh rằng với \(A = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199}\), ta có \(14 < A < 20\).Dưới đây là lời giải chi tiết:1. Chứng minh \(A < 20\)Xét biểu thức \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
- \(\frac{2}{1} < \frac{3}{2}\) (không áp dụng được vì làm \(A^{2}\) nhỏ đi, ta cần tìm chặn trên).
- Thay vào đó, ta sử dụng: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) cho các thừa số của biểu thức thứ hai nhưng lùi lại một nhịp.
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
- Chặn trên:
Vì \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199} < 20\) tương đương với \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{199}{200} > \frac{1}{20}\).
Điều này luôn đúng vì \(\frac{n-1}{n} > \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \dots\) (Sử dụng \(S > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)). Với \(n=100\), \(S > \frac{1}{20}\) là hiển nhiên. - Chặn dưới:
Sử dụng \(S < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) hoặc đơn giản hơn là so sánh \(A\) với dãy lệch một đơn vị để thấy \(A^2 > 200\).
\(A^2 = \frac{2^2}{1 \cdot 1} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 3} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 199} > \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 201} \cdot 201\)
\(A^2 > 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17\).
MD
11 tháng 8 2018
Ta có:\(C=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{199}{200}\)
\(\Rightarrow C< \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.....\dfrac{200}{201}\)
\(\Rightarrow C^2< \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.....\dfrac{200}{201}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{199}{200}\)
\(\Rightarrow C^2< \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}.....\dfrac{199}{200}.\dfrac{200}{201}\)
\(\Rightarrow C^2< \dfrac{1}{201}\) (đpcm)
11 tháng 7
Để chứng minh bất đẳng thức \(14 < \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \dots \cdot \frac{200}{199} < 20\), ta đặt:
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
Kết luận: Qua các bước đánh giá trung gian, ta có \(14.17 < A < 17.7\), thỏa mãn yêu cầu đề bài.
XO
9 tháng 11 2019
1) Tính C
\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)
\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{n!}\)
XO
9 tháng 11 2019
3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)
HL
0
Nhìn Rối tinh lên bố ai biết thế nào?
Đặt \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\).
Ta thấy với mọi số tự nhiên \(n \geq 1\):
\(\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}\)
Áp dụng vào từng cặp phân số:
Vì tất cả các phân số đều dương, nhân vế theo vế ta được: \(A < B\).
\(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\right)\)
Rút gọn các tử số và mẫu số giống nhau (2 rút gọn cho 2, 3 cho 3, ..., 200 cho 200), ta còn lại:
\(A\cdot B=\frac{1}{201}\)
Vì \(A < B\) và cả $A, B$ đều dương nên:
\(A\cdot A<A\cdot B\)
\(\Rightarrow A^{2}<\frac{1}{201}\)
(Đpcm)